Lý thuyết Giới hạn của dãy số (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

A. LÝ THUYẾT

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=0$ hay u_n → 0 khi n → +∞.

Ví dụ 1. Cho dãy số (u_n) với ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\frac{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}}}{{\mathrm{n}}^2}$. Tìm giới hạn dãy số

Giải

Xét $\left.{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right|=\left.\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}\right|=\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}$

Với n > 10 n² > 10² = 100

$\Rightarrow \left.{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right|=\left.\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}\right|=\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}<\frac{1}{100}\Rightarrow \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=0$

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (v_n) có giới hạn là a (hay v_n dần tới a) khi n → +∞ nếu $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}-\mathrm{a}\right)=0$

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ hay v_n → a khi n → +∞.

Ví dụ 2. Cho dãy số ${\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\frac{-\mathrm{n}-1}{3+2\mathrm{n}}$. Chứng minh rằng $\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\frac{-1}{2}$.

Giải

Ta có $\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{2}\right)=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\left(\frac{-\mathrm{n}-1}{3+2\mathrm{n}}+\frac{1}{2}\right)$$=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }=\frac{1}{2\left(3+2\mathrm{n}\right)}=0$

Do đó: $\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\frac{-1}{2}$.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\mathrm{n}}=0,\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}}=0$ với k nguyên dương;

b) $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}$ nếu |q| < 1;

c) Nếu u_n = c (c là hằng số) thì $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c}$.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ ta viết tắt là lim u_n = a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì

lim (u_n + v_n) = a + b

lim (u_n – v_n) = a – b

lim (u_n.v_n) = a.b

$\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ (nếu $\mathrm{b}\ne 0$)

Nếu ${\text{u}}_{\mathrm{n}}\ge 0$ với mọi n và limu_n­ = a thì:

$\lim \sqrt{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}=\sqrt{\mathrm{a}}$ và $\mathrm{a}\ge 0.$

Ví dụ 3. Tính $\lim \left({\mathrm{n}}^2-\frac{2}{\mathrm{n}+1}\right)$

Giải

$\lim \left({\mathrm{n}}^2-\frac{2}{\mathrm{n}+1}\right)=\lim \frac{{\mathrm{n}}^3+{\mathrm{n}}^2-2}{\mathrm{n}+1}=\lim \frac{1+\frac{1}{\mathrm{n}}-\frac{2}{{\mathrm{n}}^3}}{\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}}=\lim \left(1+\frac{1}{\mathrm{n}}-\frac{2}{{\mathrm{n}}^3}\right):\lim \left(\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}\right)=\left(\lim 1+\lim \frac{1}{\mathrm{n}}-\lim \frac{2}{{\mathrm{n}}^3}\right):\left(\lim \frac{1}{{\mathrm{n}}^2}+\lim \frac{1}{{\mathrm{n}}^3}\right)=+\infty$

Ví dụ 4. Tìm $\lim \frac{\sqrt{2+9{\mathrm{n}}^2}}{1+4\mathrm{n}}$

Giải

$\lim \frac{\sqrt{2+9{\mathrm{n}}^2}}{1+4\mathrm{n}}=\lim \frac{\sqrt{{\mathrm{n}}^2\left(\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}+9\right)}}{\mathrm{n}\left(\frac{1}{\mathrm{n}}+4\right)}=\lim \frac{\mathrm{n}\sqrt{\left(\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}+9\right)}}{\mathrm{n}\left(\frac{1}{\mathrm{n}}+4\right)}=\lim \frac{\sqrt{\left(\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}+9\right)}}{\frac{1}{\mathrm{n}}+4}=\frac{3}{4}.$

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Giải

Khi đó ta có:

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = +∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (u_n) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–u_n) = +∞.

Kí hiệu: lim u_n = –∞ hay u_n → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: u_n = +∞ ⇔ lim(–u_n) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim n^k = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qⁿ = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = ±∞ thì $\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=0$

b) Nếu lim u_n = a > 0, lim v_n = 0 và v_n > 0, ∀ n > 0 thì $\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=+\infty$

c) Nếu lim u_n = +∞ và lim v_n = a > 0 thì ${\mathrm{limu}}_{\mathrm{n}}.{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=+\infty$

Ví dụ 6. Tính $\lim \left(2^{\mathrm{n}}+\frac{1}{\mathrm{n}}\right)$.

Giải

$\lim \left(2^{\mathrm{n}}+\frac{1}{\mathrm{n}}\right)=\lim 2^{\mathrm{n}}+\lim \frac{1}{\mathrm{n}}$

Vì $\lim 2^{\mathrm{n}}=+\infty$ và $\lim \frac{1}{\mathrm{n}}=0$

$\Rightarrow \lim \left(2^{\mathrm{n}}+\frac{1}{\mathrm{n}}\right)=+\infty$

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{2\mathrm{n}+8}{\mathrm{n}-9};$

b) $\lim \frac{4-{\mathrm{n}}^3-12{\mathrm{n}}^2}{1+2{\mathrm{n}}^3};$

c) $\lim \frac{3^{\mathrm{n}}-4^{\mathrm{n}}+1}{2{.4}^{\mathrm{n}}+2^{\mathrm{n}}}.$

Lời giải

a) $\lim \frac{2\mathrm{n}+8}{\mathrm{n}-9}=\lim \frac{2+\frac{8}{\mathrm{n}}}{1-\frac{9}{\mathrm{n}}}=2.$

b)

 $\lim \frac{4-n^3-12n^2}{1+2n^3}=\lim \frac{\frac{4}{n^3}-1-\frac{12}{n}}{\frac{1}{n^3}+2}=-\frac{1}{2}.$

c)

$\lim \frac{3^n-4^n+1}{{2.4}^n+2^n}=\lim \frac{{\left(\frac{3}{4}\right)}^n-1+{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}{2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}=-\frac{1}{2}.$

Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là $\frac{2}{3}$ và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải

Số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{\mathrm{n}}$.

Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là: ${\mathrm{u}}_1=1$

Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: $\mathrm{S}=\frac{{\mathrm{u}}_1}{1-\mathrm{q}}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3.$

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{\mathrm{n}}$ và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là 3.

Bài 3. Biết dãy số (u_n) thỏa mãn $\left.{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}-1\right|<\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}$ với mọi n. Chứng minh rằng limu_n = 1.

Lời giải

Đặt v_n = u_n  - 1

Chọn số dương bé tùy ý d, tồn tại ${\mathrm{n}}_0=\sqrt[3]{\frac{1}{\mathrm{d}}}+1$ với mọi $\mathrm{n}\ge {\mathrm{n}}_0$ sao cho:

${\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}<\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}<\frac{1}{{\mathrm{n}}_0^3}=\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{\mathrm{d}}}+1\right)}^3}<\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{\mathrm{d}}}\right)}^3}=\mathrm{d}$

Theo định nghĩa ta có: limv_n = 0.

Do đó: lim (u_n – 1) = 0

$\Rightarrow {\mathrm{limu}}_{\mathrm{n}}=1.$

Bài 4. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \left(\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}}-\sqrt{{\mathrm{n}}^2-1}\right)$;

b) lim(n³ + 2n² – n + 1).

Lời giải

a)

$\lim \left(\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}}-\sqrt{{\mathrm{n}}^2-1}\right)=\lim \frac{\left(\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}}-\sqrt{{\mathrm{n}}^2-1}\right)\left(\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}}+\sqrt{{\mathrm{n}}^2-1}\right)}{\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}}+\sqrt{{\mathrm{n}}^2-1}}=\lim \frac{\mathrm{n}+1}{\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}}+\sqrt{{\mathrm{n}}^2-1}}=\lim \frac{1+\frac{1}{\mathrm{n}}}{\sqrt{1+\frac{1}{\mathrm{n}}}+\sqrt{1-\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$

b) lim(n³ + 2n² – n + 1) = ${\mathrm{limn}}^3\left(1+\frac{2}{\mathrm{n}}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}\right)$$={\mathrm{limn}}^3.\lim \left(1+\frac{2}{\mathrm{n}}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}\right)=\infty$

(Vì ${\mathrm{limn}}^3=\infty ,\lim \left(1+\frac{2}{\mathrm{n}}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}\right)=1$).

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Câu 1:

A. $S=1$ 

B.  $S=\frac{1}{2^n}$

C.  $S=0$

D.  $S=2$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn có:

$u_1=\frac{1}{2};q=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$

Câu 2:

A. $u_n=\frac{n}{2}$

B.  $u_n=\frac{2}{n}$

C.  $u_n=n$

D.  $u_n=\sqrt{n}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Dãy số $\left(u_n\right)$ mà $u_n=\frac{2}{n}$ có giới hạn 0.

Câu 3:

A.   1

B.   23

C.   43

D.   3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Do $0<q=\frac{1}{3}<1$ nên cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn:

$=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

$\Rightarrow \lim S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

$=\frac{u_1}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}=3$

A.  $S_n=4\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$

B.  $S_n=4$

C.  $S_n=2$

D.  $S_n=\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

$q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{1}{2}$.

Theo công thức tính tổng $S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$ ta được:

$S_n=\frac{2(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n)}{1-\frac{1}{2}}=4\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$

Câu 5:

A.  +∞

B.  $\frac{1}{2}$

C.  0

D.  1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

$C=\lim \sqrt{\frac{{3.3}^n+4^n}{3^{n+1}+4^{n+1}}}$

$=\lim \sqrt{\frac{{3.3}^n+4^n}{{3.3}^n+{4.4}^n}}$

$=\lim \sqrt{\frac{3.{\left(\frac{3}{4}\right)}^n+1}{3.{\left(\frac{3}{4}\right)}^n+4}}$

$=\sqrt{\frac{3.0+\text{}1}{3.0+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4}}=\frac{1}{2}$

Câu 6:

A. $\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=3$

B. $\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=-1$

C.  $\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=2$

D.  $\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=1$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=\frac{3\lim u_n-1}{\lim u_n+1}$

$=\frac{3.3-1}{3+1}=\frac{8}{4}=2$

Câu 7:

A.  $\lim \frac{u_n+1}{3u_n^2+5}=1$

B.  $\lim \frac{u_n+1}{3u_n^2+5}=0$

C.  $\lim \frac{u_n+1}{3u_n^2+5}=\frac{1}{3}$

D.  $\lim \frac{u_n+1}{3u_n^2+5}=+\infty$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có : 

$\lim \frac{u_n+1}{3u_n^2+5}=\lim \frac{u_n^2\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_n^2}\right)}{u_n^2\left(3+\frac{5}{u_n^2}\right)}$

$=\lim \frac{\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_n^2}\right)}{\left(3+\frac{5}{u_n^2}\right)}=\frac{0+0}{3+0}=0$

Câu 8:

Biết  $\left.\frac{{(-1)}^n}{n}\right|\le \frac{1}{n}$. Chọn kết luận không đúng:

A.  $\lim u_n=0$

B.  $\lim v_n=0$

C.  $\lim u_n-\lim v_n=0$

D.  Không tồn tại 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Dễ thấy $\lim u_n=0$ nên A đúng.

Do  $\left.\frac{{(-1)}^n}{n}\right|\le \frac{1}{n}$ và $\lim \frac{1}{n}=0$ nên 

$\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n}=0$ hay $\lim v_n=0$

Do đó các đáp án B và C đúng.

Câu 9:

A.  −∞.

B.  +∞.

C.  3.

D.  −5.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: 

$\lim \left({3.2}^{n+1}-{5.3}^n+7n\right)$

$=\lim \left({6.2}^n-{5.3}^n+7n\right)$

$=\lim 3^n\left(6{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-5+7\frac{n}{3^n}\right)$

$=-\infty$

Vì $\lim \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{3}^n=+\infty ;$

$\lim \left(6{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-5+7\frac{n}{3^n}\right)$

$=6.0-5+\text{}7.0=-5<\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0$

Câu 10:

A.   −4.

B.   −1.

C.   5.

D.   $\frac{-3}{2}$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

$\lim \frac{{(2-5n)}^3{(n+1)}^2}{2-25n^5}$

$=\lim \frac{\frac{{(2-5n)}^3}{n^3}.\frac{{(n+1)}^2}{n^2}}{\frac{2-25n^5}{n^5}}$

$=\lim \frac{{\left(\frac{2-5n}{n}\right)}^3.{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^2}{\frac{2}{n^5}-25}$

$\lim \frac{{\left(\frac{2}{n}-5\right)}^3.{\left(1+\text{\hspace{0.17em}}\frac{1}{n}\right)}^2}{\frac{2}{n^5}-25}$

$=\frac{{\left(0-5\right)}^3{(1+0)}^2}{0-25}$

$=\frac{{\left(-5\right)}^3{.1}^2}{-25}=5$