Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

A. Lý thuyết

I. Hoán vị

1. Định nghĩa

- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

- Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau.

2. Số các hoán vị

Kí hiệu: P_n là số các hoán vị của n phần tử.

- Định lí: P_n = n.(n – 1).(n – 2)….2.1

- Chú ý: Kí hiệu n.(n – 1)…2.1 là n! (đọc là n là giai thừa), ta có: P_n = n!.

- Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang.

Lời giải:

Số cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là 10! cách.

II. Chỉnh hợp

1. Định nghĩa.

- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Ví dụ 2. Lớp 11A2 có 40 học sinh. Khi đó; mỗi cách chọn ra 4 bạn làm tổ trưởng tổ 1; tổ 2; tổ 3; tổ 4 chính là số chỉnh hợp chập 4 của 40 học sinh.

2. Số các chỉnh hợp

- Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) .

- Định lí:

- Ví dụ 3. Từ năm điểm phần biệt A; B; C; D; E  ta lập được bao nhiêu vectơ khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho.

Lời giải:

Một vectơ được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Số vecto khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử:

Do đó, ta có: $A_5^2=\mathrm{5.4.3}=60$ vectơ thỏa mãn đầu bài.

- Chú ý:

a) Với quy ước 0! = 1 ta có: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!};1\le k\le n$.

b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Vì vậy: $P_n=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{A}_n^n$.

III. Tổ hợp

1. Định nghĩa.

- Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

- Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}.

Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}.

2. Số các tổ hợp.

Kí hiệu $C_n^k$ là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n).

- Định lí: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ví dụ 5. Cho 8 điểm phân biệt A; B; C; D; E; F; G; H, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho.

Lời giải:

Mỗi tam giác được lập là 1 tổ hợp chập 3 của 8 (điểm).

Vì vậy số tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho là $C_8^3=$56.

3. Tính chất của các số $C_n^k$

a) Tính chất 1.

$C_n^k=C_n^{n-k};0\le k\le n$

Ví dụ 7. $C_8^4+C_8^5=C_9^5=126$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai bạn cùng giới không đứng cạnh nhau.

Lời giải:

Đánh số 10 vị trí xếp từ 1 đến 10.

+ Trường hợp 1. Các bạn nam xếp ở vị trí lẻ, các bạn nữ xếp ở vị trí chẵn.

Xếp 5 bạn nam vào 5 vị trí lẻ có 5! = 120 cách

Xếp 5 bạn nữ vào 5 vị trí chẵn có 5! = 120 cách

Theo quy tắc nhân có: 120.120 = 14400 cách.

+ Trường hợp 2. Các bạn nam xếp ở vị trí chẵn, các bạn nữ xếp ở vị trí lẻ.

Tương tự trường hợp 1; có 14400 cách.

Vậy có tất cả: 14 400 + 14 400 = 28 800 cách.

Bài 2. Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 sẽ ngồi trên một hàng ngang có 9 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 9 học sinh đó sao cho mỗi học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh khối 11?

Lời giải :

Do mỗi học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh khối 11 nên ở vị trí đầu tiên và cuối cùng của dãy ghế sẽ là học sinh khối 11.

Bước 1: Xếp 6 học sinh lớp 11 thành một hàng ngang, có 6! cách.

Bước 2: giữa 6 bạn học sinh lớp 11 có 5 khoảng trống, chọn 3 khoảng trống trong 5 khoảng trống để xếp các bạn lớp 12, có $A_5^2$ cách (có liên quan đến thứ tự).

Theo quy tắc nhân có $6!.A_5^2=14400$ cách xếp thỏa yêu cầu.

Bài 3. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?

Lời giải:

Xếp 5 phần tử của A vào 5 ô trống liền nhau, mỗi ô trống chỉ chứa 1 phần tử, không ô trống nào chứa cùng phần tử, số cách xếp ban đầu này là $A_6^5=720$  

Tương tự như vậy, nhưng mặc định ô trống đầu tiên là chứa phần tử 0, số cách xếp vào 4 ô trống còn lại tương ứng là $A_5^4=120$.

 Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A là 720 – 120 = 600.

Bài 4. Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a có 7 điểm phân biệt, trên đường thẳng b có 6 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là các điểm đã cho.

Lời giải:

+ Trường hợp 1: Tam giác được tạo thành có 2 đỉnh thuộc đường thẳng a và 1 đỉnh thuộc đường thẳng b.

Chọn 2 đỉnh thuộc a có $C_7^2=21$ cách

Chọn 1 đỉnh thuộc b có 6 cách

Có 21.6 = 126 tam  giác.

+ Trường hợp 2: Tam giác được tạo thành có 2 đỉnh thuộc đường thẳng b và 1 điểm thuộc đường thẳng a.

Chọn 2 đỉnh thuộc b có $C_6^2=15$ cách

Chọn 1 đỉnh thuộc a có 7 cách

Có 15.7 = 105 tam  giác.

Số các tam giác thỏa mãn đầu bài là: 126 + 105 = 231.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp

Câu 1.

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Số hoán vị của ba phần tử của A là 3! = 6.

Câu 2.

A. 20

B. 12

C. 24

D. 48

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Số học sinh giỏi ít nhất 1 môn là:

30 – 10 = 20

Số học sinh giỏi cả văn lẫn toán là:

18 + 14 – 20 = 12.

Câu 3.

A. 60

B. 180

C. 330

D. 90

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Chọn 3 học sinh lớp 12 có $C_4^3$ cách, chọn 1 học sinh lớp 11 có $C_3^1$ cách, chọn 1 học sinh lớp 10 có $C_5^1$ cách. Do đó có $C_4^3.C_3^1.C_5^1=60$ cách chọn.

Câu 4.

A. $n^2$

B.  $n^n$

C. $2n$

D.  $n!$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Số hoán vị của n phần tử là  $n!$

Câu 5.

A.  $P_4$

B.   $P_5$

C.  $A_5^4$

D.  $C_5^4$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Số có 4 chữ số khác nhau tạo thành từ tập trên là $A_5^4$.

Câu 6.

A.  $P_0=1$

B.  $P_n=C_n^n$

C.  $C_n^k=C_n^{n-k}$

D.  $A_n^k=k!.C_n^k$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $P_0=0$ nên A sai.

Câu 7.

A. 120

B. 192

C. 312

D. 216

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Giả sử số đó là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$.

Trường hợp 1: $a_5=0$ chọn $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}$ có $A_5^4$ cách $\Rightarrow$ có $A_5^4$ số thỏa mãn

Trường hợp 2: $a_5\in \left.2;4\right\}$ chọn $a_1$ có 4 cách chọn, chọn $\overline{a_2{a}_3{a}_4}$ có $A_4^3$ cách $\Rightarrow$ có $\mathrm{2.4.}{A}_4^3$ cách

Do đó có $A_5^4+\mathrm{2.4.}{A}_4^3=312$ số thỏa mãn.

Câu 8.

A. 51

B. 4896 

C. 125

D. 12070

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có 3 đội bất kì trong 18 đội đều có khả năng đạt huy chương, và thứ tự của 3 đội này sẽ cho biết loại huy chương mà mỗi đội nhận, đo đó số cách trao cần tìm: $A_{18}^3=4896$.

Câu 9.

A. 60

B. 13

C. 140

D. 120

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Số ước dương là: $\left(5+1\right)\left(3+1\right)\left(4+1\right)=120$.

Câu 10.

A. 30

B. 150

C. 60

D. 120

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Để ý rằng $2^{10}{.3}^6{.5}^8=2^5{.3}^2{.5}^4\left(2^5{.3}^4{.5}^4\right)$.

Với mỗi ước dương của $2^5{.3}^4{.5}^4$ khi nhân với $2^{10}{.3}^6{.5}^8$ đều là ước dương của  thỏa mãn yêu cầu đề. Số ước dương cần tìm là: $\left(5+1\right)\left(4+1\right)\left(4+1\right)=150$.