Toán 11 Ôn tập chương 1

Mục lục Giải Toán 11 Ôn tập chương 1

Video giải Toán 11 Ôn tập chương 1

Bài 1 trang 40 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?

b) Hàm số $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{5}\right)$ có phải là hàm số lẻ không? Tại sao?

Lời giải:

a) Ta có:

Hàm số y = cos3x có tập xác định  $D=ℝ$

$\forall x\in ℝ\Rightarrow -x\in ℝ$ nên D là tập đối xứng

f(-x) = cos3(-x) = cos(-3x) = cos(3x) = f(x)

Vậy hàm số y = cos3x là hàm số chẵn.

b) Điều kiện:  $x+\frac{\pi }{5}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{3\pi }{10}+k\pi$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có: 

$y=f\left(x\right)=\tan \left(x+\frac{\pi }{5}\right)$ có tập xác định là  $D=ℝ\backslash \left.\frac{3\pi }{10}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

$\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$ nên D là tập đối xứng

$f(-x)=\tan \left(-x+\frac{\pi }{5}\right)=\tan \left.-\left(x-\frac{\pi }{5}\right)\right]=-\tan \left(x-\frac{\pi }{5}\right)$

$-f\left(x\right)=-\tan \left(x+\frac{\pi }{5}\right)$

Dễ thấy $-\tan \left(x-\frac{\pi }{5}\right)\ne -\tan \left(x+\frac{\pi }{5}\right)$ nên $f(-x)\ne -f\left(x\right)$  không là hàm số không lẻ.

Bài 2 trang 40 SGK Toán lớp 11 Đại số: Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm những giá trị của x trên đoạn $\left.-\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$ để hàm số đó:

a) Nhận giá trị bằng -1;

b) Nhận giá trị âm.

Lời giải:

Đồ thị y = sinx trên đoạn $\left.-\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$

a) Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx

Những giá trị của $x\in \left.-\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$ để hàm y = sinx nhận giá trị bằng -1 là:  

$x=\frac{-\pi }{2};x=\frac{3\pi }{2}$

(Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y = -1)

b) Những giá trị của $x\in \left.-\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$ để hàm y = sinx nhận giá trị âm là:

$x\in (-\pi ;0)\cup (\pi ;2\pi )$  

(Các khoảng mà đồ thị nằm phía dưới trục hoành)

Bài 3 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau:

a) $y=\sqrt{2(1+\cos x)}+1$;

b) $y=3\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)-2$.

Lời giải:

a) $y=\sqrt{2(1+\cos x)}+1$

Ta có: 

$-1\le \cos x\le 1,\forall x\in ℝ$

$\iff 0\le 1+\cos x\le 2$

$\iff 0\le 2(1+\cos x)\le 4$

$\iff 0\le \sqrt{2(1+\cos x)}\le 2$

$\iff 1\le \sqrt{2(1+\cos x)}+1\le 3$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3

Dấu " = " xảy ra khi  $\cos x=1\iff x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.

b) $y=3\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)-2$ 

Ta có:

$-1\le \sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)\le 1,\forall x\in ℝ$

$\iff -3\le 3\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)\le 3$

$\iff -5\le 3\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)-2\le 1$

$\iff -5\le y\le 1$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1.

Dấu " = " xảy ra khi $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=1$

$\iff x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

$\iff x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

Bài 4 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) $\sin (x+1)=\frac{2}{3}$;

b) ${\sin }^{2}2x=\frac{1}{2}$;

c) ${\cot }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{3}$;

d) $\tan \left(\frac{\pi }{12}+12x\right)=-\sqrt{3}$.

Lời giải:

Vậy các nghiệm của phương trình là

$x=-1+\arcsin \frac{2}{3}+k2\pi$; $x=-1+\pi -\arcsin \frac{2}{3}+k2\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

b)  ${\sin }^{2}2x=\frac{1}{2}$

$\iff \frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{1}{2}$

$\iff \cos 4x=0$

$\iff 4x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4},\text{ (}k\in \mathbb{Z})$.

c) ${\cot }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{3}$

Điều kiện: $\frac{x}{2}\ne k\pi \iff x\ne k2\pi$,  $k\in \mathbb{Z}$

Ta có:

${\cot }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{3}\iff \begin{array}{l}\cot \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ (1)}\\ \cot \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ (2)}\end{array}$

$\left(1\right)\iff \cot \frac{x}{2}=\cot \frac{\pi }{3}$

$\iff \frac{x}{2}=\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\left(2\right)\iff \cot \frac{x}{2}=\cot \left(-\frac{\pi }{3}\right)$

$\iff \frac{x}{2}=-\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,(k\in \mathbb{Z})$.

d) $\tan \left(\frac{\pi }{12}+12x\right)=-\sqrt{3}$

Điều kiện:   $\frac{\pi }{12}+12x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ 

$\iff 12x\ne \frac{5\pi }{12}+k\pi$

$\iff x\ne \frac{5\pi }{144}+\frac{k\pi }{12},k\in \mathbb{Z}$

$\tan \left(\frac{\pi }{12}+12x\right)=-\sqrt{3}$

$\iff \tan \left(\frac{\pi }{12}+12x\right)=\tan \left(\frac{-\pi }{3}\right)$

$\iff \frac{\pi }{12}+12x=\frac{-\pi }{3}+k\pi$

$\iff 12x=\frac{-5\pi }{12}+k\pi$

$\iff x=\frac{-5\pi }{144}+\frac{k\pi }{12}\text{ (k}\in \mathbb{Z}\text{)}$ (t/m)

Vậy các nghiệm của phương trình là: $x=\frac{-5\pi }{144}+\frac{k\pi }{12}\text{ (k}\in \mathbb{Z}\text{)}$.

Bài 5 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) 2cos²x – 3cosx +1 = 0;

b) 25sin²x + 15sin2x + 9cos²x = 25;

c) 2sinx + cosx = 1;

d) sinx + 1,5cotx = 0.

Lời giải:

a) 2cos²x – 3cosx +1 = 0

Đặt t = cosx với điều kiện  $-1\le x<1$, khi đó ta có:

2t² – 3t + 1 = 0  $\iff \begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{1}{2}\end{array}$

Với t = 1, ta có: cosx = 1  $\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Với $t=\frac{1}{2}$ , ta có:

Vậy phương trình có các nghiệm là:

$x=k2\pi ,x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) 25sin²x + 15sin2x + 9cos²x = 25

$\iff \begin{array}{l}\cos x=0\\ 8\cos x-15\sin x=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\cos x=0\\ 8\cos x=15\sin x\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\cos x=0\\ \frac{8}{15}=\frac{\sin x}{\cos x}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\cos x=0\\ \tan x=\frac{8}{15}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\arctan \frac{8}{15}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$

Vậy các nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=\arctan \frac{8}{15}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

c) 2sinx + cosx = 1

Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{5}$, ta được:

$\frac{2}{\sqrt{5}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{5}}\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}}$

Vì ${\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^2=1$ nên tồn tại một góc $\alpha$ thỏa mãn: $\begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}\\ \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}$

Khi đó, phương trình trở thành:

$\sin x\sin \alpha +\cos x\cos \alpha =\cos \alpha$

$\iff \cos (x-\alpha )=\cos \alpha$

$\iff \begin{array}{l}x-\alpha =\alpha +k2\pi \\ x-\alpha =-\alpha +k2\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=2\alpha +k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy các nghiệm của phương trình là: $x=2\alpha +k2\pi ;x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.

d) sinx + 1,5cotx = 0

Điều kiện: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$

$\sin x+1,5\cot x=0$

$\iff \sin x+1,5\frac{\cos x}{\sin x}=0$

$\Rightarrow 2{\sin }^{2}x+3\cos x=0$

$\iff 2\left(1-{\cos }^{2}x\right)+3\cos x=0$

$\iff 2{\cos }^{2}x-3\cos x-2=0$

$\iff \begin{array}{l}\cos x=\frac{-1}{2}\\ \cos x=2\text{ (L) }\end{array}$

$\iff \cos x=\cos \frac{2\pi }{3}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{-2\pi }{3}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy các nghiệm của phương trình là: $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Bài 6 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Phương trình cosx = sinx có số nghiệm thuộc đoạn $\left.-\pi ;\pi \right]$ là:

A. 2                           

B. 4                            

C. 5                               

D. 6

Lời giải:

Ta có: $\sin x=\cos x\iff \tan x=1$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

Vì $x\in [-\pi ,\pi ]$ nên:

$-\pi \le \frac{\pi }{4}+k\pi \le \pi$

$\iff -1\le \frac{1}{4}+k\le 1$

$\iff -\frac{5}{4}\le k\le \frac{3}{4}$

Ta có: $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{-1;0\}$.

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc $[-\pi ,\pi ]$ là $x=-\frac{3\pi }{4};x=\frac{\pi }{4}$

Chọn đáp án A.

Bài 7 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Phương trình $\frac{\cos 4x}{\cos 2x}=\tan 2x$ có số nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ là:

A. 2                           

B. 3                            

C. 4                                

D. 5

Lời giải:

Điều kiện:  $\cos 2x\ne 0\iff \sin 2x\ne \pm 1$

Ta có: $\frac{\cos 4x}{\cos 2x}=\tan 2x$

  $\Rightarrow \cos 4x=\tan 2x.\cos 2x$                              

$\iff \cos 4x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}.\cos 2x$

$\iff 1-2{\sin }^{2}2x=\sin 2x$

$\iff 2{\sin }^{2}2x+\sin 2x-1=0$

$\iff \begin{array}{l}\sin 2x=-1\left(Loai\right)\\ \sin 2x=\frac{1}{2}\end{array}$

Ta có:  $\sin 2x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$

$\iff \begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{12}+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vì $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên $x=\frac{\pi }{12}$ hoặc $x=\frac{5\pi }{12}$.

Vậy có 2 giá trị của $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thỏa mãn phương trình $\frac{\cos 4x}{\cos 2x}=\tan 2x$.

Chọn đáp án A.

Bài 8 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sinx + sin2x = cosx + 2cos²x là:

A. $\frac{\pi }{6}$                          

B.  $\frac{2\pi }{3}$                       

C. $\frac{\pi }{4}$                               

 D. $\frac{\pi }{3}$

Lời giải:

Ta có:

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ là  $x=\frac{2\pi }{3}$

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: $x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ là $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{4\pi }{3}$

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ là $x=\frac{\pi }{4}$.

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là $x=\frac{\pi }{4}$.

Chọn đáp án C.

Bài 9 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2tan²x + 5tanx + 3 = 0 là:

A.    $-\frac{\pi }{3}$                    

B.    $-\frac{\pi }{4}$                  

C.    $-\frac{\pi }{6}$                         

D.    $-\frac{5\pi }{6}$

Lời giải:

Ta có: 2tan²x + 5tanx + 3 = 0

$\iff \begin{array}{l}\tan x=-1\left(1\right)\\ \tan x=-\frac{3}{2}\left(2\right)\end{array}$

(1) $\iff tanx=-1$

$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

(2)   $\iff \tan x=-\frac{3}{2}$

$\iff x=\arctan \left(-\frac{3}{2}\right)+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Nghiệm âm lớn nhất của họ nghiệm $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ là $x=-\frac{\pi }{4}$.

Nghiệm âm lớn nhất của họ nghiệm $x=\arctan \left(-\frac{3}{2}\right)+k\pi$ là

$x=\arctan \left(-\frac{3}{2}\right)$

$\text{Mà }\arctan \left(-\frac{3}{2}\right)\approx -0,983$

$-\frac{\pi }{4}\approx -0,785\Rightarrow -\frac{\pi }{4}>\arctan \left(-\frac{3}{2}\right)$

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x=-\frac{\pi }{4}$.

Chọn đáp án B.

Bài 10 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Phương trình 2tanx – 2cotx – 3 = 0 có số nghiệm thuộc khoảng $\left(\frac{-\pi }{2};\pi \right)$ là:

A. 1                           

B. 2                            

C. 3                                

D. 4

Lời giải:

Điều kiện:  $x\ne k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

Ta có: 2tanx – 2cotx – 3 = 0

$\iff 2\tan x-\frac{2}{\tan x}-3=0$  (vì tanx . cotx = 1)

$\Rightarrow 2ta{n}^{2}x–3tanx–2=0$

$\iff \begin{array}{l}\tan x=2\\ \tan x=\frac{-1}{2}\end{array}$

Dựa vào tương giao của đồ thị hàm số y = tanx và hai đường thẳng y = 2; $y=\frac{-1}{2}$

Thấy phương trình có 3 nghiệm thuộc khoảng $\left(\frac{-\pi }{2};\pi \right)$

Chọn đáp án C.