Giải các phương trình sau 2cos2x – 3cosx +1 = 0

Giải Toán 11 Ôn tập chương 1

Video Giải Bài 5 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài 5 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số:  Giải các phương trình sau:

a) 2cos²x – 3cosx +1 = 0;

b) 25sin²x + 15sin2x + 9cos²x = 25;

c) 2sinx + cosx = 1;

d) sinx + 1,5cotx = 0.

Lời giải:

a) 2cos²x – 3cosx +1 = 0

Đặt t = cosx với điều kiện  $-1\le x<1$, khi đó ta có:

2t² – 3t + 1 = 0  $\iff \begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{1}{2}\end{array}$

Với t = 1, ta có: cosx = 1  $\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Với $t=\frac{1}{2}$ , ta có:

Vậy phương trình có các nghiệm là:

$x=k2\pi ,x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) 25sin²x + 15sin2x + 9cos²x = 25

$\iff \begin{array}{l}\cos x=0\\ 8\cos x-15\sin x=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\cos x=0\\ 8\cos x=15\sin x\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\cos x=0\\ \frac{8}{15}=\frac{\sin x}{\cos x}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\cos x=0\\ \tan x=\frac{8}{15}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\arctan \frac{8}{15}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$

Vậy các nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=\arctan \frac{8}{15}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

c) 2sinx + cosx = 1

Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{5}$, ta được:

$\frac{2}{\sqrt{5}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{5}}\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}}$

Vì ${\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^2=1$ nên tồn tại một góc $\alpha$ thỏa mãn: $\begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}\\ \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}$

Khi đó, phương trình trở thành:

$\sin x\sin \alpha +\cos x\cos \alpha =\cos \alpha$

$\iff \cos (x-\alpha )=\cos \alpha$

$\iff \begin{array}{l}x-\alpha =\alpha +k2\pi \\ x-\alpha =-\alpha +k2\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=2\alpha +k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy các nghiệm của phương trình là: $x=2\alpha +k2\pi ;x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.

d) sinx + 1,5cotx = 0

Điều kiện: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$

$\sin x+1,5\cot x=0$

$\iff \sin x+1,5\frac{\cos x}{\sin x}=0$

$\Rightarrow 2{\sin }^{2}x+3\cos x=0$

$\iff 2\left(1-{\cos }^{2}x\right)+3\cos x=0$

$\iff 2{\cos }^{2}x-3\cos x-2=0$

$\iff \begin{array}{l}\cos x=\frac{-1}{2}\\ \cos x=2\text{ (L) }\end{array}$

$\iff \cos x=\cos \frac{2\pi }{3}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{-2\pi }{3}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy các nghiệm của phương trình là: $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.