So sánh 3^n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5

Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Video Giải Hoạt động 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số

Hoạt động 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai số 3ⁿ và 8n với $n\in \mathbb{N}*$.

a) So sánh 3ⁿ với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a)

n = 1 suy ra 3¹ = 3 < 8 = 8.1

n = 2 suy ra 3² = 9 < 16 = 8.2

n = 3 suy ra 3³ = 27 > 24 = 8.3

n = 4 suy ra 3⁴ = 81 > 32 = 8.4

n = 5 suy ra 3⁵ = 243 > 40 = 8.5

b) Dự đoán kết quả bằng tổng quát: 3ⁿ > 8n với mọi $n\ge 3$

Với n = 3, bất đẳng thức đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\ge 3$, nghĩa là: 3^k > 8k

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

3^k+1 > 8(k + 1)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

3^k+1 = 3k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k

Với $k\ge 3$ suy ra $16k\ge 16.3=48>8$

Suy ra 3^k+1 > 8k + 8 = 8(k + 1)

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi $n\ge 3$.