Dự đoán công thức tính tổng

Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Video Giải Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải:

a) 

$S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}{S}_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3}{S}_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}$

b) Từ câu a) ta dự đoán $S_n=\frac{n}{n+1}$ (1), với mọi $n\in \mathbb{N}*$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi n = 1, vế trái là $S_1=\frac{1}{2}$ vế phải bằng $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$.

Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức  đúng với $n=k\ge 1$, tức là:

 $S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\dots +\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh: 

$S_{k+1}=\frac{k+1}{k+2}$

Ta có: 

$S_{k+1}=S_k+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k^2+2k+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{{\left(k+1\right)}^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k+1}{k+2}$

Tức là đẳng thức (1) đúng với n = k + 1

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.