Giải các phương trình sau tan x = 1

Giải Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Video Giải Hoạt động 5 trang 24 SGK Toán lớp 11 Đại số

Hoạt động 5 trang 24 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) tan x = 1;

b) tan x = -1;

c) tan x = 0.

* Lời giải:

a) Điều kiện xác định: cosx≠ 0 $\iff x$ ≠ $\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }(\mathrm{k}\in \mathrm{Z})$

$\tan x=1\iff \tan x=\tan \frac{\pi }{4}\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b)

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

c) Điều kiện xác định: cosx≠ 0$\iff$x≠ $\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{Z}$

Ta có: tanx = $\frac{\sin x}{\cos x}$

Khi đó: tanx = 0 $\iff$ $\frac{\sin x}{\cos x}$ = 0 $\iff$sinx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình tanx = 0 có các nghiệm là x = kπ, k ∈ ℤ.

* Phương pháp giải:

-Tìm điều kiện cho các hàm số tanx để xác định trước

- Áp dụng các tính chất về lượng giác để giải bài toán tìm x

* Một số phương trình lượng giác thường gặp:

1. Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với mọi x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\begin{array}{c}\frac{-\pi }{2}\le \alpha \le \frac{\pi }{2}\\ \sin \alpha =a\end{array}$ thì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi$ và $x=\pi -\alpha +\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát:

b) Phương trình sinx = sinβ⁰ có các nghiệm là:

c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = 0: Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

2. Phương trình cosx = a.

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $\left.\text{cosx}\right|\le 1$ với mọi x.

- Trường hợp $\left.\text{\hspace{0.17em}a}\right|\le 1$.

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x=\pm \alpha +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

- Chú ý:

a) Phương trình cosx = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

b) Phương trình cos x= cosβ⁰ có các nghiệm là $x=\pm {\beta }^0+\text{\hspace{0.17em}}k{360}^0;k\in \mathbb{Z}$

c) Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\begin{array}{c}0\le \alpha \le \pi \\ \cos \alpha =a\end{array}$ thì ta viết α = arccosa (đọc là ac – cosin- a, có nghĩa là cung có cosin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cos x = a còn được viết là:

$x=\pm \arccos a\text{\hspace{0.17em}}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1; phương trình cosx = 1 có các nghiệm là: $x=k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = – 1; phương trình cosx = – 1 có các nghiệm là: $x=\pi +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

+ Khi a = 0; phương trình cosx = 0 có các nghiệm là: $x=\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

3. Phương trình tanx = a.

- Điều kiện xác định của phương trình là $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x=\arctan a+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

- Chú ý:

a) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=g\left(x\right)+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Phương trình tanx = tanβ⁰ có các nghiệm là: $x={\beta }^0+k{.180}^0;k\in \mathbb{Z}$.

4. Phương trình cotx = a

Điều kiện xác định của phương trình $x\ne k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Kí hiệu x = arccota (đọc là ac– côtang – a; nghĩa là cung có côtang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình cotx = a là: $x=\mathrm{arccot}a+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

- Chú ý:

a) Phương trình cotx = cotα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát; cot f(x) = cot g(x) $\Rightarrow f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=g\left(x\right)+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Phương trình cot x = cot β⁰ có các nghiệm là: $x={\beta }^0+k{.180}^0;k\in \mathbb{Z}$