Giải các phương trình sau tan

Giải Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Video Giải Bài 5 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài 5 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) $\tan \left(x-15°\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$;

b) $\cot (3x-1)=-\sqrt{3}$;

c) cos 2x. tan x = 0;

d) sin3x. cotx = 0.

Lời giải:

a) Điều kiện: $x-15°\ne 90°+k180°$ $\iff x\ne 105°+k.180°\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta có: $\tan \left(x-15°\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\iff \tan \left(x-15°\right)=\tan 30°$

$\iff x-15°=30°+k180°,(k\in \mathbb{Z})$

$\iff x=45°+k180°,(k\in \mathbb{Z})$ (thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là: $x=45°+k180°,(k\in \mathbb{Z})$.

b) Điều kiện: $\sin \left(3x-1\right)\ne 0$  $\Rightarrow 3x-1\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$ hay $x\ne \frac{1+k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$

Ta có: $\cot (3x-1)=-\sqrt{3}$

$\iff \cot (3x-1)=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff 3x-1=-\frac{\pi }{6}+k\pi$

$\iff 3x=1-\frac{\pi }{6}+k\pi$

$\iff x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$  (thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})$.

c) Điều kiện $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

cos 2x. tan x = 0

$\iff \begin{array}{l}\cos 2x=0\\ \tan x=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x=k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$  (thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$; $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$

d) Điều kiện: $\sin x\ne 0$ $\iff x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$

Ta có: sin3x. cotx = 0

$\iff \begin{array}{l}\sin 3x=0\\ \cot x=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}3x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+n\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+n\pi \end{array}(k,n\in \mathbb{Z})$

Kết hợp với điều kiện:

Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác đế loại nghiệm:

Các nghiệm $\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi các điểm từ A₁ đến A₈ trên đường tròn lượng giác như hình dưới.

Với điều kiện  $x\ne k\pi$ nên các điểm A₁ và A₄ bị loại.

Vậy họ nghiệm chỉ còn lại các điểm A_2, A₃, A₅, A₆, A₇, A₈

Các nghiệm đó là: $\begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$.