Nêu cách giải các phương trình lượng giác cơ bản

Giải Toán 11 Ôn tập cuối năm

Câu hỏi 3 trang 178 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Lời giải:

+) Cách giải phương trình lượng giác dạng cơ bản:

$\sin x=\sin \alpha \iff \begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}$( $k\in \mathbb{Z}$)

$\cos x=\cos \alpha \iff x=\pm \alpha +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\tan x=\tan \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\cot x=\tan \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Hoặc:

$\sin x=a\left(\right|a|\le 1)\iff \begin{array}{l}x=\arcsin a+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin a+k2\pi \end{array}$( $k\in \mathbb{Z}$)

$\cos x=a\left(\right|a|\le 1)\iff x=\pm \arccos a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\tan x=a\iff x=\arctan a+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\cot x=a\iff x=\mathrm{arccot}a+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

+) Cách giải phương trình có dạng asinx + bcosx = c (*):

Chia cả hai vế của phương trình (*) cho $\sqrt{a^2+b^2}$

 $Pt\iff \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$(**)

Vì ${\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}^2+{\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}^2=1$nên ta đặt $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$; $\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Khi đó phương trình (**)

$\begin{array}{l}\iff \sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \iff \sin (x+\alpha )=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$

TH1: $\left.\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|>1$phương trình đã cho vô nghiệm.

TH2: $\left.\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\le 1\Rightarrow \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin \beta$phương trình đã cho có nghiệm:

$x+\alpha =\beta +k2\pi$  và $x+\alpha =\pi -\beta +k2\pi$ , $k\in \mathbb{Z}$.