Cho hàm số y = cos2x

Giải Toán 11 Ôn tập cuối năm

Bài tập 1 trang 178 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) Chứng minh rằng $\cos 2\left(x+k\pi \right)=\cos 2x$với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số y = cos2x.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x=\frac{\pi }{3}$.

c) Tìm tập xác định của hàm số $z=\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{1+{\cos }^{2}2x}}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\cos 2\left(x+k\pi \right)=\cos \left(2x+k2\pi \right)=\cos 2x$, $\forall k\in \mathbb{Z}$

Từ kết quả trên ta suy ra hàm số y = cos2x là hàm số tuần hoàn có chu kì là $\pi$và y = cos2x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng qua Oy.

Nên ta vẽ đồ thị hàm số y = cos2x trên đoạn $\left.0,\frac{\pi }{2}\right]$và lấy đối xứng qua Oy, được đồ thị hàm số trên đoạn $\left.-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Cuối cùng tịnh tiến nó song song với trục Ox các đoạn độ dài ta được đồ thị hàm số y = cos2x trên $ℝ$.

Bảng giá trị đặc biệt

Đồ thị hàm số

b) Ta có: $x_0=\frac{\pi }{3}\Rightarrow y_0=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$

Ta lại có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=-2\sin 2x\Rightarrow f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)=-2\sin \frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}$

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 

$y+\frac{1}{2}=-\sqrt{3}\left(x-\frac{\pi }{3}\right)\iff y=-\sqrt{3}x+\frac{\pi \sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}$

c) Ta có: 

 $\left|\cos 2x\right|\le 1$ nên $1-\cos 2x\ge 0,\forall x\in ℝ$

Do đó, tập xác định của hàm số z là $D=ℝ$.