Giải các phương trình f′(x) = g(x)

Giải Toán 11 Ôn tập cuối năm

Bài tập 16 trang 181 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) f′(x) = g(x) với f(x) = sin³2x và g(x) = 4cos2x – 5sin4x;

b) f′(x) = 0 với f(x) = 20cos3x + 12cos5x – 15cos4x.

Lời giải:

a) Ta có: f(x) = sin³2x

$\Rightarrow$f′(x) = 3sin²2x(sin2x)′ = 6sin²2xcos2x

Do đó:

f′(x) = g(x)

$\iff$6sin²2xcos2x = 4cos2x − 5sin4x

$\iff$6sin²2xcos2x = 4cos2x − 10sin2xcos2x

$\iff$cos2x(3sin²2x + 5sin2x − 2) = 0

$\iff \begin{array}{l}\cos 2x=0\text{ (1)}\\ 3{\sin }^{2}2x+5\sin 2x-2=0\text{ (2)}\end{array}$

Giải (1): $2x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

Giải (2): $\iff \begin{array}{l}\sin 2x=-2\left(Loai\right)\\ \sin 2x=\frac{1}{3}\left(TM\right)\end{array}$

 $\sin 2x=\frac{1}{3}\iff \begin{array}{l}2x=\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+k2\pi \\ 2x=\pi -\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\arcsin \left(\frac{1}{2}\right)+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:

$x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};x=\frac{1}{2}\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+k\pi ;x=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\arcsin \left(\frac{1}{2}\right)+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b) Ta có:

f′(x) = 20.(cos3x)′ + 12(cos5x)′ − 15(cos4x)′

= 20.(−3sin3x) + 12.(−5sin5x) − 15.(−4sin4x)

= −60sin3x − 60sin5x + 60sin4x

Do đó:

f′(x) = 0

$\iff$−60sin3x − 60sin5x + 60sin4x = 0

$\iff$−sin3x − sin5x + sin4x = 0

$\iff$sin5x + sin3x − sin4x = 0

$\iff$2sin4xcosx − sin4x = 0

$\iff$sin4x(2cosx − 1) = 0

 $\iff \begin{array}{l}\sin 4x=0\\ \cos x=\frac{1}{2}\end{array}\iff \begin{array}{l}4x=k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x=k\frac{\pi }{4}\\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$