Tìm cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó

Giải Toán 11 Ôn tập cuối năm

Bài tập 8 trang 180 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Lời giải:

Theo giả thiết ta có:

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}{u}_1+u_2+u_3=27\\ u_1^2+u_2^2+u_3^2=275\end{array}\\ \iff \begin{array}{l}{u}_1+\left(u_1+d\right)+\left(u_1+2d\right)=27\\ u_1^2+{\left(u_1+d\right)}^2+{\left(u_1+2d\right)}^2=275\end{array}\\ \iff \begin{array}{l}3u_1+3d=27\\ 3u_1^2+6u_{1}d+5d^2=275\end{array}\\ \iff \begin{array}{l}{u}_1=9-d\left(1\right)\\ 3u_1^2+6u_{1}d+5d^2=275\text{ (2)}\end{array}\end{array}$

Thau u₁ ở (1) vào (2) ta được:

3(9 – d)² + 6d(9 – d) + 5d² = 275

$\iff$243 − 54d + 3d² + 54d − 6d² + 5d² = 275

$\iff$2d² = 32 $\iff d=\pm 4$

Vì d > 0 nên ta chỉ chọn d = 4, u₁ = 5

Cách khác:

Gọi ba số hạng đầu của cấp số cộng lần lượt là: x − d; x; x + d với d > 0

Theo đề bài ta có: $\begin{array}{l}x-d+x+x+d=27\\ {(x-d)}^2+x^2+{(x+d)}^2=275\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \begin{array}{l}3x=27\\ x^2-2dx+d^2+x^2+2dx+d^2=275\end{array}\\ \iff \begin{array}{l}x=9\\ 3x^2+2d^2=275\end{array}\\ \iff \begin{array}{l}x=9\\ d^2=16\end{array}\text{'}\\ \iff \begin{array}{l}x=9\\ d=4(d>0)\end{array}\end{array}$

Số hạng đầu là u₁ = x – d = 9 – 4 = 5