Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau

Giải Toán 11 Ôn tập cuối năm

Bài tập 18 trang 181 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) $y=\frac{1}{x+1}$;

b) $y=\frac{1}{x\left(1-x\right)}$;

c) y = sinax (a là hằng số);

d) y = sin²x.

Lời giải:

a) $y=\frac{1}{x+1}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow y^{\text{'}}={\left(\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}=-\frac{(x+1{)}^{\text{'}}}{{(x+1)}^2}=-\frac{1}{{(x+1)}^2}\\ \Rightarrow y^{\text{'}\text{'}}={\left.-\frac{1}{{(x+1)}^2}\right]}^{\text{'}}=-{\left.\frac{1}{{(x+1)}^2}\right]}^{\text{'}}=-\frac{-{\left.{(x+1)}^2\right]}^{\text{'}}}{{(x+1)}^4}=\frac{2(x+1)}{{(x+1)}^4}=\frac{2}{{(x+1)}^3}\end{array}$

b) $y=\frac{1}{x\left(1-x\right)}$

 $\frac{1}{x(1-x)}=\frac{1-x+x}{x(1-x)}=\frac{1-x}{x(1-x)}+\frac{x}{x(1-x)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$

Ta có: $\frac{1}{x(1-x)}=\frac{1-x+x}{x(1-x)}=\frac{1-x}{x(1-x)}+\frac{x}{x(1-x)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$

Do đó:

 $\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}=-\frac{1}{x^2}-\frac{(1-x{)}^{\text{'}}}{{(1-x)}^2}=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{{(1-x)}^2}\\ y^{\text{'}\text{'}}=-\frac{-{\left(x^2\right)}^{\text{'}}}{x^4}-\frac{{\left.{(1-x)}^2\right]}^{\text{'}}}{{(1-x)}^4}\\ =-\frac{-2x}{x^4}-\frac{2(1-x)(1-x{)}^{\text{'}}}{{(1-x)}^4}\\ =\frac{2}{x^3}+\frac{2(1-x)}{{(1-x)}^4}\\ =\frac{2}{x^3}+\frac{2}{{(1-x)}^3}\end{array}$

c) y = sinax (a là hằng số)

y′ = (ax)′cosax = a.cosax

y′′ = –a(ax)′sinax =–a²sinax

d) y = sin²x

y′ = 2sinx.(sinx)′ = 2sinx.cosx = sin2x

y′′ = (2x)′.cos2x = 2cos2x