Cho các hàm số f(x) = x3 + bx2 + cx + d, g(x) = x2 – 3x + 1

Giải Toán 11 Ôn tập cuối năm

Bài tập 20 trang 181 SGK Toán lớp 11 Đại số:

f(x) = x³ + bx² + cx +d,(C)

g(x) = x² – 3x + 1.

Với các số b, c, d tìm được ở bài 19, hãy:

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = –1;

b) Giải phương trình f′(sinx) = 0;

c) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\text{'}\text{'}}\left(\sin 5x\right)+1}{g^{\text{'}}\left(\sin 3x\right)+3}$.

Lời giải:

a) Từ kết quả bài 19 ta được $\begin{array}{l}b=-\frac{1}{2}\\ c=0\\ d=-\frac{3}{2}\end{array}$

$\Rightarrow f\left(x\right)=x^3-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}$

x₀ = –1 $\Rightarrow y_0={\left(-1\right)}^3-\frac{1}{2}{\left(-1\right)}^2-\frac{3}{2}=-3$

f′(x) = 3x² – x$\Rightarrow f^{\text{'}}(-1)=3.{\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)=4$

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại x₀ = –1 là:

y + 3 = 4(x + 1) y = 4x + 1

b) Ta có:

f’(x) = 3x² – x

Khi đó:

f′(sinx) = 0

$\iff$3.sin²x – sinx = 0

$\iff$sinx.(3.sinx − 1) = 0

 $\iff \begin{array}{l}\sin x=0\\ \sin x=\frac{1}{3}\end{array}$

$\sin x=0\iff x=k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

$\sin x=\frac{1}{3}\iff \begin{array}{l}x=\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \end{array}$$(k\in \mathbb{Z})$

c) Ta có:

f′′(x) = 6x – 1 $\Rightarrow$f′′(sin5x) = 6.sin5x – 1

g′(x) = 2x – 3 $\Rightarrow$g′(sin3x) = 2.sin3x – 3

Vậy: $\frac{f^{\text{'}\text{'}}\left(\sin 5x\right)+1}{g^{\text{'}}\left(\sin 3x\right)+3}=\frac{6\sin 5x-1+1}{2\sin 3x-3+3}=\frac{6.\sin 5x}{2.\sin 3x}=5.\frac{\sin 5x}{5x}.\frac{3x}{\sin 3x}$

$\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\text{'}\text{'}}\left(\sin 5x\right)+1}{g^{\text{'}}\left(\sin 3x\right)+3}=5.\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{5x}.\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x}{\sin 3x}=\mathrm{5.1.1}=5.$