Nêu rõ các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

Giải Toán 11 Ôn tập cuối năm

Câu hỏi 8 trang 178 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Lời giải:

+) Các bước của phương pháp chứng minh quy nạp:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì $n=k\ge 1$(gọi là giả thiết quy nạp)

Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Khi đó kết luận bài toán đúng với mọi $n\in \mathbb{N}*$

+) Ví dụ: Chứng minh rằng: Với mọi $n\in \mathbb{N}*$ta có:

                          $1^2+2^2+3^2+\dots +k^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$(1)

Giải:

Khi n = 1 thì (1) trở thành $1^2=\frac{1(1+1)(2+1)}{6}=1$đúng.

Giả sử (1) đúng khi $n=k$, tức là: $1^2+2^2+3^2+\dots +k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Ta chứng minh (1) đúng khi n = k + 1, tức là phải chứng minh:

$1^2+2^2+3^2+\dots +{(k+1)}^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Thật vậy:

$1^2+2^2+3^2+\dots +k^2+{(k+1)}^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+{(k+1)}^2=\frac{(k+1)k(2k+1)+6(k+1)}{6}=\frac{(k+1)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Vậy (1) đúng khi n = k + 1.

Kết luận: (1) đúng với $n\in \mathbb{N}*$.