Giải các phương trình Bài tập 3 trang 179 SGK Toán lớp 11 Đại số

Giải Toán 11 Ôn tập cuối năm

Bài tập 3 trang 179 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) $2\sin \frac{x}{2}{\cos }^{2}x-2\sin \frac{x}{2}{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$;

b) 3cosx + 4sinx = 5;

c) sinx + cosx = 1 + cosxsinx;

d) $\sqrt{1-\cos x}=\sin x\left(x\in \left.\pi ;3\pi \right]\right)$;

e) $\left(\cos \frac{x}{4}-3\sin x\right)\sin x+\left(1+\sin \frac{x}{4}-3\cos x\right)\cos x=0$;

Lời giải:

a)$2\sin \frac{x}{2}{\cos }^{2}x-2\sin \frac{x}{2}{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

$\begin{array}{l}\iff 2\sin \frac{x}{2}\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\\ \iff 2\sin \frac{x}{2}\cdot \cos 2x=\cos 2x\\ \iff \cos 2x\left(2\sin \frac{x}{2}-1\right)=0\\ \iff \begin{array}{l}\cos 2x=0\\ \sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}\end{array}\iff \begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \begin{array}{l}\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{x}{2}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{3}+k4\pi (k\in \mathbb{Z})\\ x=\frac{5\pi }{3}+k4\pi \end{array}\end{array}$

b) Ta có:2cosx + 4sinx = 5$\iff \frac{3}{5}\cos x+\frac{4}{5}\sin x=1$

 $\iff \cos x\cos \phi +\sin x\sin \phi =1$  (Với $\cos \phi =\frac{3}{5};\sin \phi =\frac{4}{5}$)

 $\begin{array}{l}\iff \cos (x-\phi )=1\\ \iff x-\phi =k2\pi (k\in \mathbb{Z})\\ \iff x=\phi +k2\pi (k\in \mathbb{Z})\end{array}$

c) sinx + cosx = 1 + sinx.cosx

$\iff$sinx – sinx.cosx + cosx – 1 = 0

$\iff$sinx(1 – cosx) – (1 – cosx) = 0

$\iff$(1 – cosx)(sinx – 1) = 0

$\iff \begin{array}{l}\cos x=1\\ \sin x=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

d) Điều kiện $\sin x\ge 0$. Khi đó:

$\iff$1 – cosx = sin²x

 $\iff$1 – cosx – sin²x = 0

$\iff$cos²x – cosx = 0

$\iff$cosx(cosx – 1) = 0

 $\sin x\ge 0\iff \begin{array}{l}\cos x=0\\ \cos x=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k2\pi \end{array}$;$k\in \mathbb{Z}$

Vì $x\in \left.\pi ;3\pi \right]$nên tập nghiệm $S=\left.2\pi ;\frac{5\pi }{2}\right\}$.

e)$\left(\cos \frac{x}{4}-3\sin x\right)\sin x+\left(1+\sin \frac{x}{4}-3\cos x\right)\cos x=0$

$\begin{array}{l}\iff \sin x\cos \frac{x}{4}+\cos x\sin \frac{x}{4}+\cos x-3\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)=0\\ \iff \sin \left(x+\frac{x}{4}\right)+\cos x-3=0\iff \sin \frac{5x}{4}+\cos x=3\end{array}$

Vì $\sin \frac{5x}{4}\le 1;\cos x\le 1\Rightarrow \sin \frac{5x}{4}+\cos x\le 2<3$

$\Rightarrow$Phương trình trên vô nghiệm.