Tính các giới hạn sau Bài tập 10 trang 180 SGK Toán lớp 11 Đại số

Giải Toán 11 Ôn tập cuối năm

Bài tập 10 trang 180 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) $\lim \frac{\left(n+1\right){\left(3-2n\right)}^2}{n^3+1}$;

c) $\lim \frac{\sqrt{4n^2+1}+n}{2n+1}$;

d) $\lim \sqrt{n}\left(\sqrt{n-1}-\sqrt{n}\right)$.

Lời giải:

a) $\lim \frac{\left(n+1\right){\left(3-2n\right)}^2}{n^3+1}=\lim \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right){\left(\frac{3}{n}-2\right)}^2}{1+\frac{1}{n^3}}=\frac{\left(1+0\right){\left(0-2\right)}^2}{1+0}=4$

$=\lim \frac{1-\frac{1}{n}}{2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{1}{2}$.

c)$\lim \frac{\sqrt{4n^2+1}+n}{2n+1}=\lim \frac{n.\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}+n}{2n+1}$

$=\lim \frac{n\left(\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}+1\right)}{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}=\lim \frac{\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}+1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}.$

$\begin{array}{l}d)\lim \sqrt{n}\left(\sqrt{n-1}-\sqrt{n}\right)\\ =\lim \frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{n-1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n-1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\\ =\lim \frac{\sqrt{n}\left.\left(n-1\right)-n\right]}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\lim \frac{-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\left(\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1\right)}=\lim \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1}=-\frac{1}{2}\end{array}$