Cho hai dãy số (un), (vn) với và Tính limun

Giải Toán 11 Ôn tập cuối năm

Bài tập 11 trang 180 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) Tính limu_n.

b) Chứng minh rằng limv_n = 0

Lời giải:

a) Ta có: $\lim u_n=\lim \frac{n}{n^2+1}=\lim \frac{n^2\left(\frac{1}{n}\right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}=\lim \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^2}}=\frac{0}{1}=0$

b) Theo câu a, do limu_n = 0 nên với $\forall \epsilon >0,\exists n_0\in \mathbb{N}$sao cho với mọi $n\ge n_0$ta có $\left.u_n\right|\le \epsilon$hay $\left.\frac{n}{n^2+1}\right|\le \epsilon$.

Khi đó $\left.v_n-0\right|=\left.\frac{n\cos \frac{\pi }{n}}{n^2+1}\right|=\left.\frac{n}{n^2+1}\right|\cdot \left.\cos \frac{\pi }{n}\right|\le \left.\frac{n}{n^2+1}\right|\le \epsilon$

Hay limv_n = 0 (điều phải chứng minh).