Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức

Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 1 - Phần Đại số

Bài 59 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: 

a) A = x² – 6x + 11;

b) B = 2x² + 10x – 1;

c) C = 5x – x².

Lời giải:

a) Ta có: A = x² – 6x + 11

= x² – 2.3x + 9 + 2

= (x – 3)² + 2

Vì (x – 3)² ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)² + 2 ≥ 2

Suy ra: A ≥ 2.

A = 2 khi và chỉ khi x – 3 = 0 hay x = 3.

Vậy A = 2 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức tại x = 3.

b) B = 2x² + 10x – 1

= 2(x² + 5x – $\frac{1}{2}$)

= 2[x² + 2. $\frac{5}{2}$x + ($\frac{5}{2}$ )² – ($\frac{5}{2}$ )² – $\frac{1}{2}$ ]

= 2[(x + )² – $\frac{25}{4}$ – $\frac{2}{4}$ ]

= 2[(x + $\frac{5}{2}$)² –  $\frac{27}{4}$] = 2(x + $\frac{5}{2}$)² – $\frac{27}{2}$

Vì (x + $\frac{5}{2}$)² ≥ 0 với mọi x nên 2(x + $\frac{5}{2}$)² ≥ 0

 2(x + )² –  $\frac{27}{2}$≥ $\frac{-27}{2}$

Suy ra: B $\ge \frac{-27}{2}$ .

B = $\frac{-27}{2}$ khi và chỉ khi x + $\frac{5}{2}$ = 0 suy ra x = – $\frac{5}{2}$

Vậy B = $\frac{-27}{2}$ là giá trị nhỏ nhất của biểu thức tại x = – $\frac{5}{2}$.

c) C = 5x – x² = – (x² – 5x)

= – [x² – 2. $\frac{5}{2}$x + ($\frac{5}{2}$ )² – ($\frac{5}{2}$ )²]

= – [(x – $\frac{5}{2}$)² – $\frac{25}{4}$] = – (x – $\frac{5}{2}$)² + $\frac{25}{4}$

Vì – (x – $\frac{5}{2}$)² ≤ 0 với mọi x nên – (x – $\frac{5}{2}$)² + $\frac{25}{4}\le \frac{25}{4}$

Suy ra: C $\le \frac{25}{4}$.

C = $\frac{25}{4}$ khi và chỉ khi x - $\frac{5}{2}$ = 0 suy ra x = $\frac{5}{2}$.

Vậy C = $\frac{25}{4}$ là giá trị lớn nhất của biểu thức tại x = $\frac{5}{2}$ .