Phân tích đa thức thành nhân tử: x^3 – 3x^2 – 4x + 12

Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 1 - Phần Đại số

Bài 57 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x³ – 3x² – 4x + 12;

b) x⁴ – 5x² + 4;

c) (x + y + z)³ – x³ – y³ – z³ .

*Phương pháp giải

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung:

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^3+x$ thành nhân tử: $x^3+x=x.x^2+x=x(x^2+1)$

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm nhân tử:

Ví dụ: Phân tích đa thức $xy+3z+xz+3y$ thành nhân tử:

$xy+3z+xz+3y=(xy+xz)+(3z+3y)=x(y+z)+3(z+y)=(x+3)(y+z)$

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức như thế nào?

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^2-8x+16$ thành nhân tử: $x^2-8x+16=x^2-2.x.4+4^2=(x-4{)}^2$

*Lời giải:

a) x³ – 3x² – 4x + 12

= (x³ – 3x² ) – (4x – 12)

= x²(x – 3) – 4(x – 3)

= (x – 3)(x² – 4)

= (x – 3)(x + 2)(x – 2)

b) x⁴ – 5x² + 4

= x⁴ – 4x² – x² + 4

= (x⁴ – 4x² ) – (x² – 4)

= x²(x² – 4) – 1.(x² – 4)

= (x² – 4)( x² – 1)

= (x + 2)(x – 2)(x + 1)(x – 1)

c) (x + y + z)³ – x³ – y³ – z³

= [(x + y) + z]³ – x³ – y³ – z³

= (x + y)³ + 3(x + y)²z + 3(x + y)z² + z³ – x³ – y³ – z³

= x³ + y³ + 3xy(x + y) + 3(x + y)²z + 3(x + y)z² – x³ – y³

(vì z³ – z³ = 0 ; 3x²y + 3xy² = 3xy (x + y)).

= 3xy.(x + y) + 3(x + y)².z + 3(x + y).z²

= 3(x + y)[xy + (x + y)z + z²]

= 3(x + y)[xy + xz + yz + z²]

= 3(x + y)[x(y + z) + z(y + z)]

= 3(x + y)(y + z)(x + z).