Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA

Giải SBT Toán 8 Bài: Ôn tập chương 1 - Phần Hình học

Bài 157 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là:

a) Hình chữ nhật

b) Hình thoi

c)Hình vuông

Lời giải:

* Xét tam giác ABC có:

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Do đó, EF là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: EF //AC và EF = $\frac{1}{2}$AC (1)

* Xét  ΔADC có:

H là trung điểm của AD

G là trung điểm của DC

Do đó, HG là đường trung bình

Suy ra: HG // AC và HG = $\frac{1}{2}$AC (2)

Từ (l) và (2) suy ra EF // HG và EF = HG.

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành.

Lại có: E là trung điểm của AB, H là trung điểm của AD nên EH là đường trung bình của tam giác ABD

EH // BD và EH = $\frac{1}{2}BD$

a) Tứ giác EFGH là hình chữ nhật

⇔ EH ⊥ EF

Ta có: EF // AC nên để EH ⊥ EF  thì EH ⊥ AC (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Mà EH // BD nên AC ⊥ BD (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Vậy để EFGH là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD phải có AC ⊥ BD.

b) Tứ giác EFGH là hình thoi

⇔ EH = EF

Mà EH = $\frac{1}{2}BD$; EF = $\frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Do đó, để EFGH là hình thoi thì tứ giác ABCD phải có AC = BD

c) Tứ giác EFGH là hình vuông

⇔ tứ giác ABCD là hình thoi đồng thời là hình chữ nhật

⇔ AC ⊥ BD và AC = BD