Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau ở G

Giải SBT Toán 8 Bài: Ôn tập chương 1 - Phần Hình học

Bài 161 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau ở G. Gọi H là trung điểm của GB, K là trung điểm của GC.

a) Chứng minh rằng tứ giác DEHK là hình bình hành.

b) Tam giác ABC cần có điều kiện gì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật.

c) Nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình gì?

Lời giải:

a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: GD = $\frac{1}{2}$GB (tính chất đường trung tuyến của tam giác)

GH = $\frac{1}{2}$GB (H là trung điểm của GB )

Suy ra: GD = GH.

Ta có: GE = $\frac{1}{2}$GC (tính chất đường trung tuyến của tam giác)

GK = $\frac{1}{2}$GC (K là trung điểm của GC)

Suy ra GE = GK.

Xét tứ giác DEHK có:

GE = GK

GD = GH

Do đó, tứ giác DEHK là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

b) Hình bình hành DEHK trở thành hình chữ nhật khi DH = EK

Mà DH = $\frac{2}{3}$BD; EK = $\frac{2}{3}$CE

Nên DH = EK ⇒ BD = CE

⇒ ΔABC cân tại A.

Vậy ΔABC cân tại A thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật.

c) Nếu BD ⊥ CE ⇒ DH ⊥ EK.

Hình bình hành DEHK có hai đường chéo vuông góc nên nó là hình thoi.