Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD

Giải SBT Toán 8 Bài: Ôn tập chương 1 - Phần Hình học

Bài 163 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.

a) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cùng cắt nhau tại một điểm.

c) Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình bình hành.

Lời giải:

a) Xét tứ giác DEBF, ta có:

AB // CD (vì ABCD là hình bình hành) hay DF // EB

EB = $\frac{1}{2}$AB (vì E là trung điểm AB)

DF = $\frac{1}{2}$CD (vì F là trung điểm CD).

Suy ra: EB = DF.

Xét tứ giá DEBF có:

EB = DF

DF // EB

Tứ giác DEBF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có: OB = OD (tính chất hình bình hành)

Tứ giác DEBF là hình bình hành nên EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra: EF đi qua trung điểm O của BD.

Vậy AC, BD và EF cắt nhau tại O trung điểm của mỗi đoạn.

c) Xét ΔEOM và ΔFON có:

$\widehat{MEO}=\widehat{NFO}$ (so le trong do DE // BF)

OE = OF (tính chất hình bình hành)

$\widehat{MOE}=\widehat{NOF}$ (đối đỉnh )

Suy ra: ΔEOM = ΔFON (g.c.g)

⇒ OM = ON

Xét tứ giác EMFN ta có:

OM = ON

OE = OF

Do đó, tứ giác EMFN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).