Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Giải SBT Toán 8 Bài: Ôn tập chương 1 - Phần Hình học

Bài 159 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC.

a) Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A.

b) Tam giác DHE là tam giác gì? Vì sao?

c) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?

d) Chứng minh rằng BC = BD + CE.

Lời giải:

a) Điểm D đối xứng điểm H qua trục AB.

Suy ra AB là đường trung trực của HD

⇒ AH = AD (tính chất đường trung trực)

⇒ ΔADH cân tại A

Suy ra: AB là tia phân giác của $\widehat{DAH}$

⇒ $\widehat{DAB}=\widehat{A_1}$

Điểm H và điểm E đối xứng qua trục AC

⇒ AC là đường trung trực của HE

⇒ AH = AE (tính chất đường trung trực)

⇒ ΔAHE cân tại A

Suy ra: AC là đường phân giác của góc $\widehat{HAE}\Rightarrow \widehat{A_2}=\widehat{EAC}$

Ta có:

$\widehat{DAH}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{HAE}=\widehat{A_1}+\widehat{DAB}+\widehat{A_2}+\widehat{CAE}$

$=2(\widehat{A_1}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{A_2})={2.90}^0={180}^0$

⇒ D, A, E thẳng hàng.

Ta có: AD = AE (vì cùng bằng AH)

Suy ra điểm A là trung điểm của đoạn DE.

Vậy điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

b) ΔADH cân tại A ⇒ $\widehat{AHD}=\widehat{ADH}$

ΔAEH cân tại A ⇒$\widehat{AHE}=\widehat{AEH}$

⇒ $\widehat{DHE}=\widehat{AHD}+\widehat{AHE}$

$=\widehat{ADH}+\widehat{AEH}$

Mà $\widehat{DHE}+\widehat{ADH}+\widehat{AEH}$ = 180^o

⇒ $\widehat{DHE}$ = 90^o

Vậy ΔDHE vuông tại H.

c) Xét ΔADB và ΔAHB có:

$\widehat{DAB}=\widehat{HAB}$ ; AB chung; DA = AH

⇒ ΔADB = ΔAHB (c.g.c)

⇒ $\widehat{ADB}=\widehat{AHB}$ = 90^o ⇒ BD ⊥ DE

Chứng minh tương tự $\widehat{AEC}=\widehat{AHC}$ = 90^o 

⇒ EC ⊥ DE

⇒ BD // EC  và có $\widehat{BDE}$ = 90°

⇒ BDEC là hình thang vuông.

d) Vì AB là đường trung trực của HD

⇒ BD = BH.

Vì AC là đường trung trực của HE

⇒ CE = CH.

Vậy BD + CE = BH + CH = BC.