Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E và F theo thứ tự là

Giải SBT Toán 8 Bài: Ôn tập chương 1 - Phần Hình học

Bài 162 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.

a) Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì? Vì sao?

b) Gọi M là giao điểm của AF và DE, gọi N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật.

c) Hình bình hành ABCD nói trên có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình vuông.

Lời giải:

a) * Xét tứ giác AEFD, ta có:

AB // CD (vì ABCD là hình bình hành) hay AE // FD

AE = $\frac{1}{2}$AB (vì E là trung điểm AB)

FD = $\frac{1}{2}$CD (vì F là trung điểm của CD)

Suy ra: AE = FD.

Do đó, tứ giác AEFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Lại có: AD = AE = $\frac{1}{2}$AB .

Vậy tứ giác AEFD là hình thoi.

* Xét tứ giác AECF, ta có:

AE // CF (do ABCD là hình bình hành)

AE = $\frac{1}{2}$AB (giả thiết)

CF = $\frac{1}{2}$CD (giả thiết)

Suy ra: AE = CF.

Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

b) Tứ giác AEFD là hình thoi

⇒ AF ⊥ ED ⇒ $\widehat{EMF}$ = 90^o

AF // CE (vì tứ giác AECF là hình bình hành)

Mà AF ⊥ ED

Nên CE ⊥ ED ⇒ $\widehat{MEN}$ = 90^o

Xét tứ giác EBFD, ta có:

EB = FD (vì cùng bằng AE)

EB // FD (vì AB // CD)

Tứ giác EBFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đổi song song và bằng nhau) ⇒ DE // BF

Mà DE ⊥ AF

Nên BF ⊥ AF ⇒ $\widehat{MFN}$ = 90°

Xét tứ giác MENF có:

$\widehat{MFN}$ = 90°

$\widehat{EMF}$ = 90^o

$\widehat{MEN}$ = 90^o

Vậy tứ giác EMFN là hình chữ nhật.

c) Ta có: Hình chữ nhật EMFN là hình vuông ⇒ ME = MF

ME = $\frac{1}{2}$DE (tính chất hình thoi)

MF = $\frac{1}{2}$AF (tính chất hình thoi)

Suy ra: DE = AF.

⇒ Tứ giác AEFD là hình vuông (vì hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau)

⇒$\hat{A}$ = 90^o ⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ngược lại: ABCD là hình chữ nhật ⇒$\hat{A}$ = 90^o

Hình thoi AEFD có $\hat{A}$ = 90^o nên AEFD là hình vuông

⇒ AF = DE ⇒ ME = MF (tính chất hình vuông)

Hình chữ nhật EMFN là hình vuông (vì có 2 cạnh kề bằng nhau)

Vậy hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật có AB = 2AD.