Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC

Giải SBT Toán 8 Bài: Ôn tập chương 1 - Phần Hình học

Bài 158 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng với D qua AC, F là giao điểm của DN và AC.

a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b) Các tứ giác ADBM, ADCN là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh rằng M đối xứng với N qua A.

d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông.

Lời giải:

a) Điểm M và điểm D đối xứng qua trục AB

Suy ra AB là đường trung trực của đoạn thẳng MD

⇒ AB ⊥ DM ⇒ $\widehat{AED}$ = 90^o

Điểm D và điểm N đối xứng qua trục AC

⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DN

⇒ AC ⊥ DN ⇒ $\widehat{AFD}$ = 90°

Xét tứ giác AEDF có

$\widehat{EAF}$ = 90^o (giả thiết)

$\widehat{AFD}$ = 90°

$\widehat{AED}$ = 90^o

Vậy tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

b) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật

⇒ DE // AC; DF // AB

Trong ∆ABC, ta có:

DB = DC (giả thiết)

Mà DE // AC

Suy ra: AE = EB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Lại có: DF // AB và DB = DC

Suy ra: AF = FC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét tứ giác ADBM, ta có:

AE = EB (chứng minh trên)

ED = EM (vì AB là trung trực DM)

Suy ra tứ giác ADBM là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Mặt khác: AB ⊥ DM

Vậy hình bình hành ADBM là hình thoi (vì có hai đường chéo vuông góc)

Xét tứ giác ADCN, ta có:

AF = FC (chứng minh trên)

DF = FN (vì AC là đường trung trực DN)

Suy ra tứ giác ADCN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

Lại có: AC ⊥ DN

Vậy hình bình hành ADCN là hình thoi (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

c) Tứ giác ADBM là hình thoi

⇒ AM // DB và AM = AD

Hay AM // BC và AM = AD (1)

Tứ giác ADCN là hình thoi

⇒ AN // DC và AD = AN

Hay AN // BC và AN = AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AM trùng với AN hay M, A, N thẳng hàng.

Và AM = AN nên A là trung điểm của MN.

Vậy điểm M và điểm N đối xứng qua điểm A.

d) Hình chữ nhật AEDF trở thành hình vuông khi AE = AF

Ta có: AE = $\frac{1}{2}$AB; AF = $\frac{1}{2}$AC

Nên AE = AF ⇒ AB = AC.

Vậy nếu ∆ABC vuông cân tại A thì tứ giác AEDF là hình vuông.