Chứng minh rằng nếu hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng với nhau

Giải SBT Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)

Bài 43 trang 94 sách bài tập Toán 8 Tập 2: 

a) Tỉ số của hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng;

b)Tỉ số của hai trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

Lời giải:

a) Vẽ đường phân giác AD, A’D’ theo thứ tự của hai tam giác ABC và A’B’C’

Vẽ đường trung tuyến AM, A’M’ theo thứ tự của hai tam giác ABC và A’B’C’

Vì ΔABC đồng dạng ΔA'B'C' nên ta có:

$\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}};\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ và $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=k$

Lại có:

$\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{A}\left(\text{}gt\right);\widehat{B\text{'}A\text{'}D\text{'}}=\frac{1}{2}\widehat{A\text{'}}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(gt\right)$.

Suy ra: $\widehat{BAD}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$

Xét ΔABD và ΔA'B'D' ta có;

 $\hat{B}=\widehat{B\text{'}}$ (chứng minh trên)

 $\widehat{BAD}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ (chứng minh trên)

Suy ra: ΔABD đồng dạng ΔA'B'D' (g.g)

Vậy : $\frac{A\text{'}D\text{'}}{AD}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=k$.

b) Vì ΔABC đồng dạng ΔA'B'C' nên $\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=k$

Mà B'M' = $\frac{1}{2}$B'C' và BM = $\frac{1}{2}$BC nên $\frac{B\text{'}M\text{'}}{BM}=k$ .

Xét ΔABM và ΔA'B'M', ta có:

$\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{B\text{'}M\text{'}}{BM}=k$

 $\hat{B}=\widehat{B\text{'}}$  (chứng minh trên)

Suy ra: ΔABM đồng dạng ΔA'B'M' (c.g.c).

Vậy: $\frac{AM\text{'}}{AM}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=k$ .