Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau

Giải SBT Toán Bài 5: Diện tích hình thoi

Bài 5.2 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Biết AC = 6cm, BD = 8cm. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi X, Y, Z, T theo thứ tự là trung điểm các cạnh MN, NP, PQ, QM.

a) Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.

b) Tính diện tích của tứ giác XYZT.

Lời giải:

a) Trong ΔABD ta có:

M là trung điểm của AB và Q là trung điểm của AD nên MQ là đường trung bình của ΔABD.

⇒ MQ // BD và MQ = $\frac{1}{2}$BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong ΔCBD ta có:

N là trung điểm của BC và P là trung điểm của CD

Nên NP là đường trung bình của ΔCBD

⇒ NP // BD và NP = $\frac{1}{2}$BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MQ // NP và MQ = NP nên tứ giác MNPQ là hình bình hành

Ta có: AC ⊥ BD ( giả thiết) và MQ // BD

Suy ra: AC ⊥ MQ.

Trong ΔABC có MN là đường trung bình

⇒ MN // AC

Suy ra: MN ⊥ MQ hay $\widehat{NMQ}$= 90^o

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

b) Kẻ đường chéo MP và NQ.

Trong ΔMNP ta có:

X là trung điểm của MN và Y là trung điểm của NP

Nên XY là đường trung bình của ΔMNP

⇒ XY // MP và XY = $\frac{1}{2}$MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)

Trong ΔQMP ta có:

T là trung điểm của QM và Z là trung điểm của QP

Nên TZ là đường trung bình của ΔQMP

⇒ TZ // MP và TZ = $\frac{1}{2}$MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: XY // TZ và XY = TZ nên tứ giác XYZT là hình bình hành.

Trong ΔMNQ ta có XT là đường trung bình

⇒ XT = $\frac{1}{2}$QN (tính chất đường trung bình của tam giác)

Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ⇒ MP = NQ

Suy ra: XT = XY. Vậy tứ giác XYZT là hình thoi

Ta có: S_XYZT = $\frac{1}{2}$XZ. TY

Mà XZ = MQ = $\frac{1}{2}$BD

= $\frac{1}{2}$. 8 = 4 (cm);

TY = MN = $\frac{1}{2}$AC

= $\frac{1}{2}$.6 = 3 (cm).

Vậy : S_XYZT = $\frac{1}{2}$. 3. 4 = 6 (cm²)