Cho tam giác đều ABC. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

Giải SBT Toán 8 Bài 1: Đa giác. Đa giác đều

Bài 1.2 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: a) Cho tam giác đều ABC. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh MNP là tam giác đều.

b) Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DA, AB. Chứng minh MNPQ là hình vuông (tứ giác đều).

c) Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DE, EA, AB. Chứng minh MNPQR là ngũ giác đều.

Lời giải:

a) Ta có: M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC

Nên MN là đường trung bình của Δ ABC

⇒ MN = $\frac{1}{2}$AB

Ta có: P là trung điểm của AB; M là trung điểm BC nên MP là đường trung bình của Δ ABC

⇒ MP = $\frac{1}{2}$AC

Tương tự, NP là đường trung bình của Δ ABC

⇒ NP = $\frac{1}{2}$BC.

Mà AB = BC = AC (vì tam giác ABC đều)

Do đó MN = MP = NP. Vậy Δ MNP đều.

b) Do ABCD là hình vuông có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB nên: AQ = QB = BM = MC = CN = ND = DP = PA

Xét Δ APQ và Δ BQM:

AQ = BM

$\widehat{A}=\widehat{B}$ = 90^o

AP = BQ

Do đó: Δ APQ = Δ BQM (c.g.c)

⇒ PQ = QM (1)

Xét Δ BQM và Δ CMN:

BM = CN

$\widehat{B}=\widehat{C}$= 90^o

BQ = CM

Do đó: Δ BQM = Δ CMN (c.g.c)

⇒ QM = MN (2)

Xét Δ CMN và Δ DNP:

CN = DP

$\widehat{C}=\widehat{D}$= 90^o

CM = DN

Do đó: Δ CMN = Δ DNP (c.g.c)

⇒ MN = NP (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

MN = NP = PQ = QM.

Suy ra:  tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì AP = AQ nên Δ APQ vuông cân tại A

BQ = BM nên Δ BMQ vuông cân tại B

Do đó: $\widehat{AQP}=\widehat{BQM}$ = 45^o

Lại có:

$\widehat{AQP}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{PQM}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{BQM}$ = 180^o (kề bù)

⇒$\widehat{PQM}={180}^0-\left(\widehat{AQP}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{BQM}\right)$

= 180^o - (45^o + 45^o) = 90^o

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.

c)

Xét Δ ABC và Δ BCD:

AB = BC (vì ABCDE là ngũ giác đều)

$\widehat{B}=\widehat{C}$ (vì ABCDE là ngũ giác đều)

BC = CD ( vì ABCDE là ngũ giác đều).

Do đó: Δ ABC = Δ BCD (c.g.c)

⇒ AC = BD (1)

Tương tự, xét Δ BCD và Δ CDE:

BC = CD

$\widehat{C}=\widehat{D}$

CD = DE

Do đó: Δ BCD = Δ CDE (c.g.c)

⇒ BD = CE (2)

Xét Δ CDE và Δ DEA:

CD = DE

$\widehat{D}=\widehat{E}$

DE = EA

Do đó: Δ CDE = Δ DEA (c.g.c)

⇒ CE = DA (3)

Xét Δ DEA và Δ EAB:

DE = EA

$\widehat{E}=\widehat{A}$

EA = AB

Do đó: Δ DEA = Δ EAB (c.g.c)

⇒ DA = EB (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:

AC = BD = CE = DA = EB

Trong Δ ABC ta có RM là đường trung bình

⇒ RM = $\frac{1}{2}$AC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Mặt khác, ta có: Trong Δ BCD ta có MN là đường trung bình

⇒ MN = $\frac{1}{2}$BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong Δ CDE ta có NP là đường trung bình

⇒ NP = $\frac{1}{2}$CE (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong Δ DEA ta có PQ là đường trung bình

⇒ PQ = $\frac{1}{2}$DA (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong Δ EAB ta có QR là đường trung bình

⇒ QR = $\frac{1}{2}$EB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra:

MN = NP = PQ = QR = RM

Ta có:

$\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=\widehat{E}$ 

= $\frac{(\text{}5-2){.180}^0}{5}$ = 108^o

Vì Δ DPN cân tại D

 $\Rightarrow \widehat{DPN}=\widehat{DNP}=\frac{{180}^0-\widehat{D}}{2}=\frac{{180}^0-{108}^0}{2}={36}^0$

Vì Δ CNM cân tại C

$\widehat{\Rightarrow CNM}=\widehat{CMN}=\frac{{180}^0-\widehat{D}}{2}=\frac{{180}^0-{108}^0}{2}={36}^0$

Mà $\widehat{DNP}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{PNM}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{CNM}={180}^0$

⇒ $\widehat{PNM}={180}^0-(\text{\hspace{0.17em}}\widehat{DNP}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{CNM})$

=180^o - (36^o – 36^o) = 108^o

Vì Δ BMR cân tại B

 $\Rightarrow \widehat{BMR}=\widehat{BRM}=\frac{{180}^0-\widehat{B}}{2}=\frac{{180}^0-{108}^0}{2}={36}^0$

Mà:

$\begin{array}{l}\widehat{CMN}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{NMR}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{BMR}={180}^0\\ \Rightarrow \widehat{NMR}={180}^0-(\widehat{CMN}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{BMR})\end{array}$

= 180^o - (36^o – 36^o) = 108^o

Vì Δ ARQ cân tại A

$\Rightarrow \widehat{A\text{}RQ}=\widehat{AQR}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2}=\frac{{180}^0-{108}^0}{2}={36}^0$

Mà $\widehat{BRM}\text{\hspace{0.17em}}+\widehat{MRQ}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{AR\text{}Q}={180}^0$

⇒ $\widehat{MRQ}\text{\hspace{0.17em}}={360}^0-\left(\widehat{BR\text{}M}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{AR\text{}Q}\right)$

=180^o - (36^o – 36^o) = 108^o

Vì Δ QEP cân tại E

$\Rightarrow \widehat{EQP}=\widehat{EPQ}=\frac{{180}^0-\widehat{E}}{2}=\frac{{180}^0-{108}^0}{2}={36}^0$

Mà $\widehat{AQR}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{R\text{}QP}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{EQP}={180}^0$

⇒ $\widehat{RQP}={180}^0-\text{\hspace{0.17em}}\left(\widehat{A\text{}QR}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{EQP}\right)$

= 180^o - (36^o – 36^o) = 108^o

Mà $\widehat{EPQ}+\widehat{QPN}+\widehat{DPN}={180}^0$

⇒ $\widehat{QPN}={180}^0-(\widehat{EPQ}+\widehat{DPN})$

= 180^o - (36^o – 36^o) = 108

Suy ra:

 $\widehat{PNM}=\widehat{NMR}=\widehat{MRQ}=\widehat{RQP}=\widehat{QPN}$

Vậy MNPQR là ngũ giác đều.