Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm

Giải SBT Toán 8 Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất (c.c.c)

Bài 33 trang 91 sách bài tập Toán 8 Tập 2: 

a) Chứng minh rằng tam giác PQR đồng dạng với tam giác ABC.

b) Tính chu vi của tam giác PQR, biết rằng tam giác ABC có chu vi p bằng 543 cm.

Lời giải:

a) * Trong ΔAOB ta có:

P trung điểm của OA (gt)

Q trung điểm của OB (gt)

Suy ra PQ là đường trung bình của ΔAOB

Suy ra: PQ = $\frac{1}{2}$AB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: $\frac{PQ}{AB}=\frac{1}{2}$  (1)

* Trong ΔOAC, ta có:

P trung điểm của OA (gt)

R trung điểm của OC (gt)

Suy ra PR là đường trung bình của tam giác OAC.

Suy ra: PR = $\frac{1}{2}$AC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: $\frac{PR}{AC}=\frac{1}{2}$  (2)

* Trong ΔOBC, ta có:

Q trung điểm của OB (gt)

R trung điểm của OC (gt)

Suy ra QR là đường trung bình của tam giác OBC

Suy ra: QR = $\frac{1}{2}$BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: $\frac{QR}{BC}=\frac{1}{2}$  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\frac{PQ}{AB}=\frac{PR}{AC}=\frac{QR}{BC}=\frac{1}{2}$

Vậy ΔPQR đồng dạng ΔABC (c.c.c).

b) Gọi p’ là chu vi tam giác PQR.

Theo a ta có: $\frac{PQ}{AB}=\frac{PR}{AC}=\frac{QR}{BC}=\frac{1}{2}$  (4)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{PQ}{AB}=\frac{PR}{AC}=\frac{QR}{BC}=\frac{PQ+\text{\hspace{0.17em}}PR+\text{\hspace{0.17em}}QR}{AB+\text{}AC+\text{\hspace{0.17em}}BC}=\frac{p\text{'}}{p}\text{ (5)}$

Từ (4); (5) suy ra:

$\frac{p\text{'}}{p}=\frac{1}{2}\Rightarrow p\text{'}=\frac{1}{2}p=\frac{1}{2}.543=271,5\text{}\left(cm\right)$