Cho tam giác ba góc nhọn ABC và một điểm O bất kì trong tam giác đó

Giải SBT Toán 8 Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất (c.c.c)

Bài 5.2 trang 91 sách bài tập Toán 8 Tập 2: 

Ba điểm D, E, F theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC và CA. Ba điểm M, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB và OC.

a) Các tam giác DEF và MPQ có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ? Tỉ số đồng dạng bằng bao nhiêu ?

Hãy sắp xếp các đỉnh tương ứng nếu hai tam giác đó đồng dạng.

b) Khi nào thì lục giác DPEQFM có tất cả các cạnh bằng nhau ? Hãy vẽ hình trong trường hợp đó.

Lời giải:

a) Theo giả thiết D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA nên DE, EF, FD là các đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, ta có:

DE = $\frac{1}{2}$AC; EF = $\frac{1}{2}$AB; FD = $\frac{1}{2}$BC (1)

Mặt khác, M là trung điểm của OA, P là trung điểm của OB, Q là trung điểm của OC, xét các tam giác OAB, OBC, OCA, ta cũng có:

MP = $\frac{1}{2}$AB; PQ = $\frac{1}{2}$BC; QM = $\frac{1}{2}$AC. (2)

Từ đẳng thức (1) và (2), ta suy ra:

DE = QM, EF = MP, FD = PQ.

Do đó ta có: $\frac{DE}{QM}=\frac{EF}{MP}=\frac{FD}{PQ}=1$ .

Vậy ΔDEF đồng dạng ΔQMP theo tỉ số đồng dạng k = 1, trong đó D, E, F lần lượt tương ứng với các đỉnh Q, M, P.

b) Lục giác DPEQFM có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một:

DP = QF (vì bằng $\frac{1}{2}$OA);

PE = MF (vì bằng $\frac{1}{2}$OC)

EQ = MD (vì bằng $\frac{1}{2}$OB)

Lục giác DPEQFM có 6 cạnh bằng nhau chỉ khi DP = PE = EQ.

Muốn vậy, ta phải có OA = OB = OC, khi đó O là điểm cách đều ba điểm A, B, C. Vậy O là giao điểm của ba đường trung trực tam giác ABC.