Cho hai tam giác ABC và DBC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Diện tích tam giác

Bài 3.3 trang 161 SBT Toán 8 Tập 1: a) Cho hai tam giác ABC và DBC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Kẻ đường cao DK của tam giác DBC. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. Gọi S’ là diện tích của tam giác DBC.

Chứng minh rằng $\frac{S\text{'}}{S}=\frac{DK}{AH}$

b) Cho tam giác ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Kẻ các đường cao của tam giác đó là AD, BE và CF. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với AD cắt cạnh BC tại điểm H. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với BE cắt cạnh AC tại điểm K. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với CF cắt cạnh BA tại điểm T.

Chứng minh rằng $\text{}\frac{MH}{AD}+\frac{MK}{BE}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{MT}{C\text{}F}=1$

Lời giải:

a) Hai ΔABC và ΔDBC có chung cạnh đáy BC nên ta có:

S_ABC = AH. BC = S

S_DBC = DK. BC = S'

$\Rightarrow \frac{S\text{'}}{S}=\frac{\frac{1}{2}DK.BC}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{DK}{AH}$

b)

 Gọi diện tích các hình tam giác ABC, MAB, MAC, MBC lần lượt là S, S₁, S₂, S₃. Ta có:

S = S₁ + S₂ + S₃

Trong đó: S = $\frac{1}{2}$AD.BC

= $\frac{1}{2}$BE. AC = $\frac{1}{2}$CF. AB

S₁ = $\frac{1}{2}$MT. AB

S₂ = $\frac{1}{2}$MK. AC

S₃ = $\frac{1}{2}$MH. BC

Suy ra:

$\frac{S_1}{S}\text{\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\frac{1}{2}MT.AB}{\frac{1}{2}CF.AB}\text{\hspace{0.17em}=}\frac{MT}{CF}$

$\frac{S_2}{S}=\frac{\frac{1}{2}MK.AB}{\frac{1}{2}BE.AB}=\frac{MK}{BE}$

$\frac{S_3}{S}=\frac{\frac{1}{2}MH.AB}{\frac{1}{2}AD.AB}=\frac{MH}{AD}$