Cho a + b + c = 0. Chứng minh a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

Giải SBT Toán 8 Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Bài 38 trang 10 SBT Toán 8 Tập 1: Cho a + b + c = 0. Chứng minh a³ + b³ + c³ = 3abc.

Lời giải:

Ta chứng minh: a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

Thật vậy, VP = (a + b)³ – 3ab(a + b)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – 3a²b – 3ab²

= a³ + b³ + (3a²b – 3a²b) +( 3ab² – 3ab²)

= a³ + b³ = VT

Nên a³ + b³ + c³ = (a + b)³ – 3ab(a + b) + c³ (1)

Ta có: a + b + c = 0  a + b = – c (2)

Thay (2) vào (1) ta có:

a³ + b³ + c³ = (– c)³ – 3ab(– c) + c³ = – c³ + 3abc + c³ = 3abc

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.