Chứng tỏ rằng phương trình (1) có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm đó

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Phương trình đưa về dạng

ax + b  = 0

Bài 3.1 trang 9 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho hai phương trình:

 $\frac{7x}{8}$– 5(x – 9) = $\frac{1}{6}$(20x + 1,5) (1)

2(a – 1)x – a(x – 1) = 2a + 3  (2)

a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm đó;

b) Giải phương trình (2) khi a = 2;

c) Tìm giá trị của a để phương trình (2) có một nghiệm bằng một phần ba nghiệm của phương trình (1).

Lời giải:

a) Nhân hai vế của phương trình (1) với 24, ta được:

 $\frac{7x}{8}$ – 5(x – 9) = $\frac{1}{6}$(20x + 1,5)

⇔ 21x − 120(x − 9) = 4(20x + 1,5)

⇔21x − 120x − 80x = 6 − 1080

⇔ −179x = −1074 ⇔ x = 6

Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất x = 6.

b) Ta có:

 2(a − 1)x − a(x − 1) = 2a + 3

⇔ 2(a – 1)x – ax + a =  2a + 3

⇔ (2a – 2 – a)x = a + 3

⇔ (a − 2)x = a + 3       (3)

Do đó, khi a = 2, phương trình (2) tương đương với phương trình 0x = 5.

Phương trình này vô nghiệm nên phương trình (2) vô nghiệm.

c) Theo điều kiện của bài toán, nghiệm của phương trình (2) bằng một phần ba nghiệm của phương trình (1) nên nghiệm đó bằng 2.

Suy ra, phương trình (3) có nghiệm x = 2

Thay giá trị x = 2 vào phương trình (3) này, ta được (a − 2).2 = a + 3.

Ta coi đây là phương trình mới đối với ẩn a. Giải phương trình mới này:

(a − 2). 2 = a + 3

2a − 4 = a + 3

⇔ a = 7

Khi a = 7, dễ thử thấy rằng phương trình (a − 2)x = a + 3 có nghiệm x = 2, nên phương trình (2) cũng có nghiệm x = 2.