Cho hình thang ABCD có AB // CD và AB < CD

Giải SBT Toán 8 Bài 1: Định lí Ta-lét trong tam giác

Bài 4 trang 83 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD có AB // CD và AB < CD.

Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M và N.

Chứng minh rằng:

a) $\frac{MA}{AD}=\frac{NB}{BC}$;

b) $\frac{MA}{MD}=\frac{NB}{NC}$;

c) $\frac{MD}{DA}=\frac{NC}{CB}$.

Lời giải:

a) Gọi E là giao điểm của AD và BC

Trong tam giác EMN, ta có: AB // MN (gt)

Suy ra: $\frac{EA}{MA}=\frac{EB}{NB}$ (định lí Ta- let)

Suy ra:  $\frac{EA}{EB}=\frac{\text{}MA}{NB}$  (1)

Trong tam giác EDC, ta có: AB // CD (gt)

Suy ra: $\frac{EA}{AD}=\frac{EB}{BC}$ (định lí Ta- let)

Suy ra: $\frac{EA}{EB}=\frac{AD}{BC}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{MA}{NB}=\frac{AD}{BC}\Rightarrow \frac{MA}{AD}=\frac{NB}{BC}$

b) Ta có: $\frac{MA}{AD}=\frac{NB}{BC}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{MA}{AD-MA}=\frac{NB}{BC-NB}\Rightarrow \frac{MA}{MD}=\frac{NB}{NC}$

c) Ta có: $\frac{MA}{MD}=\frac{NB}{NC}$ (câu b)

$\Rightarrow \frac{MD}{MA}=\frac{NC}{NB}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{MD}{MA}=\frac{NC}{NB}\Rightarrow \frac{MD}{MA+MD}=\frac{NC}{NB+NC}\iff \frac{MD}{DA}=\frac{NC}{BC}$