Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và AC = 2.AB

Giải SBT Toán 8 Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ hai (c.g.c)

Bài 6.2 trang 93 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và AC = 2.AB.

a) Vẽ trung tuyến BE của tam giác ABO. Chứng minh rằng $\widehat{ABE}=\widehat{ACB}$.

b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC, chứng minh rằng EM vuông góc với đường chéo BD.

Lời giải:

a)Vì ABCD là hình bình hành và E là trung điểm của AO (vì BE là trung tuyến của tam giác ABO) nên ta có:

AO = CO = $\frac{1}{2}$AC; AE = $\frac{1}{2}$AO.

Mặt khác, theo giả thiết AC = 2AB nên dễ thấy AB = AO và do đó AE = $\frac{1}{2}$AB

Xét hai tam giác AEB và ABC, ta có:

Góc A chung

$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$

Vậy ΔAEB đồng dạng ΔABC (c.g.c)

Suy ra: hai góc tương ứng bằng nhau $\widehat{ABE}=\widehat{ACB}$ (đpcm)

b) Theo chứng minh ở câu a. ΔAEB đồng dạng ΔABC theo tỉ số $k=\frac{1}{2}$ nên dễ thấy BE = $\frac{1}{2}$BC hay BE = BM (M là trung điểm BC)

Suy ra: ΔBEM cân tại B.

Xét tam giác EBC có: $\frac{BE}{BC}=\frac{OE}{OC}=\frac{1}{2}$

Suy ra: OB là đường phân giác góc EBC

Vì BO là đường phân giác góc ở đỉnh của tam giác cân BEM nên BO vuông góc với cạnh đáy EM (đpcm).