Giải Toán 12 trang 59 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 12 trang 59Tập 1

Bài 2.9 trang 59 Toán 12 Tập 1: Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.

Lời giải:

Biểu diễn lực các lực kéo của ba sợi dây bằng các vectơ, đặt tên các vectơ như hình vẽ:

Lấy điểm D sao cho tứ giác DCAE là hình bình hành (điểm D nằm khác phía với điểm B).

Do đó, giá của các vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AE}$ cùng nằm trên mặt phẳng (ACDE). (1)

Vì DCAE là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành)

Vì các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên nên $\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}$, do đó hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB}$ có giá cùng nằm trên một mặt phẳng (ACDE). (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba vectơ $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AE}$ và $\overrightarrow{AB}$ có giá cùng nằm trên mặt phẳng (ACDE).

Vậy khi các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng

Bài 2.10 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

Lời giải:

a) Vì AA’//CC’ nên hai vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }C}$ ngược hướng nhau.

Suy ra, $\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{C^{\prime }C}\right)={180}^0$.

Do đó,$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{C^{\prime }C}=\left|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right|.\left|\overrightarrow{C^{\prime }C}\right|.\cos \left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{C^{\prime }C}\right)=\mathrm{2.2.}\cos {180}^0=-4$

b) Vì A’ADD’ là hình chữ nhật nên $\widehat{A^{\prime }AD}={90}^0$

Vì ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{A^{\prime }AD}={90}^0$

Ta có:$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{AD}=\left|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos \left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{AD}\right)=\mathrm{2.1.}\cos {90}^0=0$

c) Vì A’ABB’ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$.

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{CAB}={45}^0$ và $AC=\sqrt{2}$

Ta có:$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=-\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=-\sqrt{2}.1.\cos {45}^0=-1$

Bài 2.11 trang 59 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là ${45}^0$, hãy tính:

Lời giải:

a) $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\mathrm{1.1.}\cos {45}^0=\frac{\sqrt{2}}{2}$

b)$\left(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right)={\overrightarrow{a}}^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-6{\overrightarrow{b}}^2=1+\frac{\sqrt{2}}{2}-6.1=-5+\frac{\sqrt{2}}{2}$

c) ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2=1+2.\frac{\sqrt{2}}{2}+1=2+\sqrt{2}$

Bài 2.12 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

Lời giải:

a) Ta có:$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CD}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB}$(đpcm)

b)$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right).\overrightarrow{DB}+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\right).\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{BC}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}\right)=0$