Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng A'C.B'D'=0

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 6: Vectơ trong không gian

Luyện tập 11 trang 57 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng$\overrightarrow{A^{\prime }C}.\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=0$.

Lời giải:

Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1. Khi đó, $A^{\prime }{C}^{\prime }=B^{\prime }{D}^{\prime }=\sqrt{2}$

Gọi E’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’ của hình vuông A’B’C’D’. Khi đó, E’ là trung điểm của A’C’ và B’D’. Suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=2\overrightarrow{E^{\prime }{D}^{\prime }}$ và $E^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Gọi E là trung điểm của CC’. Mà E’ là trung điểm của A’C’ nên EE’ là đường trung bình của tam giác A’C’C. Do đó, $\overrightarrow{A^{\prime }C}=2\overrightarrow{E^{\prime }E}$ và $E^{\prime }E=\frac{1}{2}{A}^{\prime }C$

Áp dụng định lí Pythagore vào $\mathrm{\Delta }$A’C’C vuông tại C’ có: $A^{\prime }C=\sqrt{A^{\prime }C{\prime 2}^{}+C^{\prime }{C}^2}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$$\Rightarrow E^{\prime }E=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng định lí Pythagore vào $\mathrm{\Delta }$D’C’E vuông tại C’ có:

$ED{\prime 2}^{}=C^{\prime }D{\prime 2}^{}+C^{\prime }{E}^2=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$

Vì $E^{\prime }D{\prime 2}^{}+E^{\prime }{E}^2=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=ED{\prime 2}^{}$ nên $\mathrm{\Delta }$E’D’E vuông tại E’. Do đó, $\overrightarrow{E^{\prime }E}\mathrm{\perp }\overrightarrow{E^{\prime }{D}^{\prime }}$

Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }C}.\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=2.\overrightarrow{E^{\prime }E}.2.\overrightarrow{E^{\prime }{D}^{\prime }}$$=0$ (đpcm)