Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 6: Vectơ trong không gian

Bài 2.10 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

Lời giải:

a) Vì AA’//CC’ nên hai vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }C}$ ngược hướng nhau.

Suy ra, $\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{C^{\prime }C}\right)={180}^0$.

Do đó,$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{C^{\prime }C}=\left|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right|.\left|\overrightarrow{C^{\prime }C}\right|.\cos \left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{C^{\prime }C}\right)=\mathrm{2.2.}\cos {180}^0=-4$

b) Vì A’ADD’ là hình chữ nhật nên $\widehat{A^{\prime }AD}={90}^0$

Vì ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{A^{\prime }AD}={90}^0$

Ta có:$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{AD}=\left|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos \left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{AD}\right)=\mathrm{2.1.}\cos {90}^0=0$

c) Vì A’ABB’ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$.

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{CAB}={45}^0$ và $AC=\sqrt{2}$

Ta có:$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=-\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=-\sqrt{2}.1.\cos {45}^0=-1$