Toán 12 Bài 8 (Kết nối tri thức): Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

I. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Giải Toán 12 trang 67Tập 1

HĐ1 trang 67 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;0;5\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(1;3;9\right)$.

a) Biểu diễn hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ qua các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

b) Biểu diễn hai vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và $2\overrightarrow{a}$ qua các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$, từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{a}=\left(1;0;5\right)=\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{k}$; $\overrightarrow{b}=\left(1;3;9\right)=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+9\overrightarrow{k}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{k}+\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+9\overrightarrow{k}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+14\overrightarrow{k}$. Do đó, $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(2;3;14\right)$

$2\overrightarrow{a}=2\left(\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{k}\right)=2\overrightarrow{i}+10\overrightarrow{k}$. Do đó, $2\overrightarrow{a}=\left(2;0;10\right)$

Câu hỏi trang 67 Toán 12 Tập 1: Nếu tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là (x; y; z) thì tọa độ của vectơ đối của $\overrightarrow{a}$ là gì?

Lời giải:

Vectơ đối của $\overrightarrow{a}$ là $-\overrightarrow{a}$.

Tọa độ của vectơ đối của $\overrightarrow{a}$ là: $\left(-x;-y;-z\right)$.

Giải Toán 12 trang 68Tập 1

Luyện tập 1 trang 68 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;8;6\right),\overrightarrow{v}=\left(-1;3;-2\right)$ và $\overrightarrow{w}=\left(0;5;4\right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$.

Lời giải:

$\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(1;8;6\right)-2\left(-1;3;-2\right)+\left(0;5;4\right)=\left(1+2;8-6+5;6+4+4\right)=\left(3;7;14\right)$

HĐ2 trang 68 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A\left(x_A;y_A;z_A\right),B\left(x_B;y_B;z_B\right)$ và $C\left(x_C;y_C;z_C\right)$.

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A và B và C.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{OA}=\left(x_A;y_A;z_A\right),\overrightarrow{OB}=\left(x_B;y_B;z_B\right),\overrightarrow{OC}=\left(x_C;y_C;z_C\right)$

a) Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\\ z_M=\frac{z_A+z_B}{2}\end{array}$.

Do đó, $M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\end{array}$. Do đó, $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$.

Giải Toán 12 trang 69Tập 1

Luyện tập 2 trang 69 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(2;9;-1\right),B\left(9;4;5\right)$ và $G\left(3;0;4\right)$. Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.

Lời giải:

Để G là trọng tâm của tam giác ABC thì

$\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_C=3x_G-x_A-x_B=3.3-2-9=-2\\ y_C=3y_G-y_A-y_B=3.0-9-4=-13\\ z_C=3z_G-z_A-z_B=3.4+1-5=8\end{array}$

Vậy $C\left(-2;-13;8\right)$

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

HĐ3 trang 69 Toán 12 Tập 1: Thiết lập biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)$

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=1$và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0$

b) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ để tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i};\overrightarrow{a}.\overrightarrow{j};\overrightarrow{a}.\overrightarrow{k}$

c) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow{b}=x^{\text{'}}\overrightarrow{i}+y^{\text{'}}\overrightarrow{j}+z^{\text{'}}\overrightarrow{k}$ để tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{i}\right|.\cos 0^0={\left|\overrightarrow{i}\right|}^2=1$

Vì $\overrightarrow{i}\mathrm{\perp }\overrightarrow{j}\Rightarrow \overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=0;\overrightarrow{i}\mathrm{\perp }\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0$

b) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right)\overrightarrow{i}=x.{\overrightarrow{i}}^2+y\overrightarrow{.j}.\overrightarrow{i}+z.\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=x$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{j}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right)\overrightarrow{j}=x\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+y{\overrightarrow{j}}^2+z\overrightarrow{k}.\overrightarrow{j}=y$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{k}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right).\overrightarrow{k}=x\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}+y\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}+z.{\overrightarrow{k}}^2=z$

c) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right).\left(x^{\prime }\overrightarrow{i}+y^{\prime }\overrightarrow{j}+z^{\prime }\overrightarrow{k}\right)$

$=x{x}^{\prime }{\overrightarrow{i}}^2+x{y}^{\prime }.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+x{z}^{\prime }\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}+x^{\prime }y.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+y{y}^{\prime }.{\overrightarrow{j}}^2+y{z}^{\prime }\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}+z{x}^{\prime }.\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}+z{y}^{\prime }.\overrightarrow{k}\overrightarrow{j}+z{z}^{\prime }{\overrightarrow{k}}^2$

Mà $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0;\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=0;\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=0$ nên: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$

Luyện tập 3 trang 69 Toán 12 Tập 1: Trong ví dụ 3, tính ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2$

Lời giải:

Ta có: ${\overrightarrow{a}}^2=1^2+4^2+2^2=21;{\overrightarrow{b}}^2={\left(-4\right)}^2+1^2+0=17;\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

Do đó, ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2=21+2.0+17=38$

Giải Toán 12 trang 70Tập 1

Luyện tập 4 trang 70 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho A(0; 2; 1), B(3; -2; 1) và C(-2; 5; 7).

a) Tính chu vi của tam giác ABC.

b) Tính $\widehat{BAC}$

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(3;-4;0\right)\Rightarrow AB=\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}=5;$

$\overrightarrow{AC}\left(-2;3;6\right)\Rightarrow AC=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+3^2+6^2}=7$

Vậy chu vi tam giác ABC là:

b) Vì$\cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{3.\left(-2\right)+\left(-4\right).3+0.6}{5.7}=\frac{-18}{35}\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\approx 120,9^0$

Nên $\widehat{BAC}={180}^0-120,9^0=59,1^0$.

3. Vận dụng tọa độ của vectơ trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn

Giải Toán 12 trang 71Tập 1

Luyện tập 5 trang 71 Toán 12 Tập 1: Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định tọa độ của các chiếc máy bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B).

Lời giải:

Gọi D(x; y; z) là vị trí của máy bay sau 10 phút bay tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B). Vì hướng của máy bay không đổi nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BD}$ cùng hướng. Do vận tốc máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B bằng thời gian bay từ B đến D nên $AB=BD$. Do đó, $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}=\left(140;50;1\right)$.

Mặt khác: $\overrightarrow{BD}=\left(x-940;y-550;z-8\right)$ nên $\{\begin{array}{l}x-940=140\\ y-550=50\\ z-8=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1080\\ y=600\\ z=9\end{array}$

Vậy D(1 080; 600; 9). Vậy tọa độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là (1 080; 600; 9).

Luyện tập 6 trang 71 Toán 12 Tập 1: Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc $\alpha$.

Lời giải:

Theo Ví dụ 6 ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\left(-120;0;300\right);\left|\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\right|=60\sqrt{29}cm,O^{\prime }\left(0;450;0\right),$$A^{\prime }\left(240;450;0\right)$

Do đó, $\overrightarrow{A^{\prime }{O}^{\prime }}=\left(-240;0;0\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{A^{\prime }{O}^{\prime }}\right|=240cm$

Ta có: $\cos \left(\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }};\overrightarrow{A^{\prime }{O}^{\prime }}\right)=\frac{\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}.\overrightarrow{A^{\prime }{O}^{\prime }}}{\left|\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\right|.\left|\overrightarrow{A^{\prime }{O}^{\prime }}\right|}=\frac{\left(-120\right)\left(-240\right)+0.0+300.0}{60\sqrt{29}.240}=\frac{2\sqrt{29}}{29}$

$\Rightarrow \widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{O}^{\prime }}\approx {68}^0$. Vậy $\alpha \approx {68}^0$

Giải Toán 12 trang 72Tập 1

Luyện tập 7 trang 72 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.

Lời giải:

Theo Ví dụ 7 ta có, khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là A(2; 1; 0,5), khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $B\left(-1;-1,5;0,8\right)$.

Ta có: $OA=\sqrt{2^2+1^2+0,5^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}km$, $OB=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-1,5\right)}^2+0,8^2}=\frac{\sqrt{389}}{10}km$.

Vì gốc O đặt tại điểm xuất phát và $OA>OB$ nên khinh khí cầu thứ hai gần điểm xuất phát hơn.