Toán 12 (Kết nối tri thức) Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang

Giải Toán 12 Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang

Thực hành 1 trang 82 Toán 12 Tập 2: Sử dụng phần mềm Geogebra, tính:

a) $\int \frac{x^2-2x+2}{x+1}dx$

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^x\cos 2xdx$

Lời giải:

Khởi động phần mềm Geogebra, chọn Complex Adaptive System (CAS) để thực hiện tính toán nguyên hàm và tích phân.

a) Để tính$\int \frac{x^2-2x+2}{x+1}dx$, ta dùng lệnh IntegralSymbolic($\frac{x^2-2x+2}{x+1}$), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới như hình sau:

Vậy$\int \frac{x^2-2x+2}{x+1}dx$= 5ln|x + 1| +$\frac{1}{2}$x²– 3x + C.

b) Để tính gần đúng tích phân$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^x\cos 2xdx$, ta dùng lệnh Nintegral(e^xcos2x, 0,$\frac{\pi }{2}$), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới như hình sau:

Vậy$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^x\cos 2xdx$≈ – 1,16.

Thực hành 2 trang 84 Toán 12 Tập 2:Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{e^x}{x}dx$với độ chính xác 0,01.

Lời giải:

1. Ta có: $f\left(x\right)=\frac{e^x}{x}$

$f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{e^x}{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{e^x\cdot x-e^x}{x^2}=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)e^x;$

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)={\left.\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)e^x\right]}^{\text{'}}=\left(\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x^3}\right)e^x$

${{f^{\text{'}}}^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)={\left.\left(\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x^3}\right)e^x\right]}^{\text{'}}=\left(\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{6}{x^3}-\frac{6}{x^4}\right)e^x$

f'''(x) = 0 thì x ≈ 1,596.

Ta có f''(1) = e; f''(1,596) ≈ 0,333 ∙ e^1,569; f''(2) = $\frac{e^2}{4}$

Do đó, $M=\underset{x\in \left.1;2\right]}{\max }\left.f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)\right|=e$

2. Ta cần tìm n sao cho:

$\frac{{\left(2-1\right)}^3\cdot e}{12n^2}<\mathrm{0,01}\iff \frac{e}{12n^2}<\mathrm{0,01}\iff n>\sqrt{\frac{25e}{3}}$.

Do đó, ta chọn n = 5.

3. Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn có độ dài bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].

Áp dụng công thức hình thang, ta có:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{e^x}{x}dx$$\approx \frac{2-1}{2\cdot 5}\left.\frac{e^1}{1}+2\cdot \frac{e^{\mathrm{1,2}}}{\mathrm{1,2}}+2\cdot \frac{e^{\mathrm{1,4}}}{\mathrm{1,4}}+2\cdot \frac{e^{\mathrm{1,6}}}{\mathrm{1,6}}+2\cdot \frac{e^{\mathrm{1,8}}}{\mathrm{1,8}}+\frac{e^2}{2}\right]$≈ 3,065.

Vận dụng trang 84 Toán 12 Tập 2:Một thân cây dài 4,8 m được cắt thành các khúc gỗ dài 60 cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích S của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây x (cm) là khoảng cách tính từ đỉnh thân cây đến vết cắt.

x (cm)	0	60	120	180	240	300	360	420	480
S (cm2)	240	248	256	260	264	272	298	316	320

Tìm thể tích gần đúng của thân cây này.

Hướng dẫn.

Thể tích cần tính là$V=\underset{0}{\overset{480}{\int }}S\left(x\right)dx$, trong đó S(x) là diện tích mặt cắt ngang tại vị trí cách đỉnh thân cây một khoảng x (cm). Sử dụng phương pháp hình thang để tính gần đúng tích phân này.

Lời giải:

Thể tích gần đúng của thân cây đã cho là $V=\underset{0}{\overset{480}{\int }}S\left(x\right)dx$

Ta chia đoạn [0; 480] thành n = 8 đoạn con có độ dài bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài là 60. Các đoạn đó là: [0; 60], [60; 120], [120; 180], [180; 240], [240; 300], [300; 360], [360; 420], [420; 480].

Áp dụng công thức hình thang, ta có:

$V=\underset{0}{\overset{480}{\int }}S\left(x\right)dx$$\approx \frac{480-0}{2\cdot 8}$(240 + 2 ∙ 248 + 2 ∙ 256 + 2 ∙ 260 + 2 ∙ 264 + 2 ∙ 272 + 2 ∙ 298 + 2.316 + 320] = 131 640 (cm³) = 0,13164 (m³_­).