Toán 12 Bài 1 (Kết nối tri thức): Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

HĐ4 trang 9 Toán 12 Tập 1: Quan sát đồ thị của hàm số $y=x^3+3x^2-4$ (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:

Lời giải:

Giải Toán 12 trang 10Tập 1

Luyện tập 4 trang 10 Toán 12 Tập 1: Hình 1.9 là đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$. Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và $y_{CT}=y\left(1\right)=1$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và $y_{C\mathrm{D}}=y(-1)=5$

HĐ5 trang 10 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số$y=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x+1$.

a) Tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ bằng 0.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số.

c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

$y^{\prime }=x^2-6x+8$, $y^{\prime }=0\iff x^2-6x+8=0\iff [\begin{array}{l}x=4\\ x=2\end{array}$

Vậy $x=4;x=2$ thì $f^{\prime }\left(x\right)=0$

b) Bảng biến thiên:

c) Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x+1$ có điểm cực đại là $\left(2;\frac{23}{3}\right)$.

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x+1$ có điểm cực tiểu là $\left(4;\frac{19}{3}\right)$.

Giải Toán 12 trang 11Tập 1

Câu hỏi trang 11 Toán 12 Tập 1: Giải thích vì sao nếu f’(x) không đổi dấu qua $x_0$ thì $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?

Lời giải:

Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left(a;x_0\right)$ và $\left(x_0;b\right)$. Nếu f’(x) không đổi dấu qua $x_0$ thì:

TH1: $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(a;x_0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(x_0;b\right)$, ta có bảng biến thiên:

Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left(a;x_0\right)$ và $\left(x_0;b\right)$. Nếu f’(x) không đổi dấu qua $x_0$ thì:

TH1: $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(a;x_0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(x_0;b\right)$, ta có bảng biến thiên:

Do đó, $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số f(x).

Giải Toán 12 trang 12Tập 1

Luyện tập 5 trang 12 Toán 12 Tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y=x^4-3x^2+1$;

b) $y=\frac{-x^2+2x-1}{x+2}$.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-6x,y^{\prime }=0\iff 4x^3-6x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\end{array}$;

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ và $y_{CT}=\frac{-5}{4}$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-2\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(-2x+2\right)\left(x+2\right)-\left(-x^2+2x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{-x^2-4x+5}{{\left(x+2\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=-5\\ x=1\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-5$ và $y_{CT}=12$.

Vận dụng 2 trang 12 Toán 12 Tập 1: Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức: $h\left(t\right)=2+24,5t-4,9t^2$. Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Lời giải:

Xét hàm số: $h\left(t\right)=2+24,5t-4,9t^2$.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có:$$h^{\prime }\left(t\right)=-9,8t+24,5;h^{\prime }\left(t\right)=0\iff -9,8t+24,5=0\iff t=\frac{5}{2}$$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $t=\frac{5}{2}$,

Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là $t=\frac{5}{2}$ giây.

Bài tập

Giải Toán 12 trang 13Tập 1

Bài 1.1 trang 13 Toán 12 Tập 1:

a) Đồ thị hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ (H.1.11);

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ (H.1.11);

b) Đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{{\left(x^2-4\right)}^2}$ (H.1.12).

Lời giải:

a) Hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ đồng biến trên $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ nghịch biến trên $\left(0;1\right)$.

b) Hàm số $y=\sqrt[3]{{\left(x^2-4\right)}^2}$ đồng biến trên $\left(-2;0\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\sqrt[3]{{\left(x^2-4\right)}^2}$ nghịch biến trên $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ và $\left(0;2\right)$.

Bài 1.2 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$;

b) $y=-x^3+2x^2-5x+3$.

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$;

b) $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-2\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{2\left(x+2\right)-\left(2x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{2x+4-2x+1}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{5}{\left(x+2\right)}>0\mathrm{\forall }x\ne -2$

Do đó, hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$ đồng biến trên $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ và $\left(-2;+\mathrm{\infty }\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{3\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(x^2+x+4\right)}^{\prime }\left(x-3\right)-\left(x^2+x+4\right){\left(x-3\right)}^{\prime }}{{\left(x-3\right)}^2}=\frac{\left(2x+1\right)\left(x-3\right)-x^2-x-4}{{\left(x-3\right)}^2}=\frac{x^2-6x-7}{{\left(x-3\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff \frac{x^2-6x-7}{{\left(x-3\right)}^2}=0\iff [\begin{array}{l}x=7\\ x=-1\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-1;3\right)$ và $\left(3;7\right)$.

Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(7;+\mathrm{\infty }\right)$.

Bài 1.4 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{4-x^2}$;b) $y=\frac{x}{x^2+1}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\left[-2;2\right]$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(4-x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{4-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}},y^{\prime }=0\iff x=0\left(tm\right)$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\sqrt{4-x^2}$ đồng biến trên khoảng $\left(-2;0\right)$.

Hàm số $y=\sqrt{4-x^2}$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có:$y^{\prime }=\frac{\left(x^2+1\right)-2x.x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-x^2+1}{{\left(x^2+1\right)}^2},y^{\prime }=0\iff \frac{-x^2+1}{{\left(x^2+1\right)}^2}=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$, $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ đồng biến trên khoảng $\left(-1;1\right)$

Bài 1.5 trang 13 Toán 12 Tập 1: Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số$N\left(t\right)=\frac{25t+10}{t+5},t\ge 0$, trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.b) Tính đạo hàm N’(t) và $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}N\left(t\right)$. Từ đó giải thích tại sao dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua một ngưỡng nào đó.

Lời giải:

a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2000 là: $N\left(0\right)=\frac{25.0+10}{0+5}=\frac{10}{5}=2$ (nghìn người)

Dân số của thị trấn đó vào năm 2015 là: $N\left(15\right)=\frac{25.15+10}{15+5}=19,25$ (nghìn người)

b) Ta có: , $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}N\left(t\right)=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{25t+10}{t+5}=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{25+\frac{10}{t}}{1+\frac{5}{t}}=25$

Vì $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}N\left(t\right)=25$ và nên dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua ngưỡng 25 nghìn người.

Giải Toán 12 trang 14Tập 1

Bài 1.6 trang 14 Toán 12 Tập 1: Đồ thị của đạo hàm bậc nhất$y=f^{\prime }\left(x\right)$ của hàm số f(x) được cho trong Hình 1.13:

a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

Lời giải:

a) Vì $f^{\prime }\left(x\right)>0$ khi $x\in \left(2;4\right)$ và $x\in \left(6;+\mathrm{\infty }\right)$. Do đó, hàm số f(x) đồng biến trên $\left(2;4\right)$ và $\left(6;+\mathrm{\infty }\right)$.

Vì $f^{\prime }\left(x\right)<0$ khi $x\in \left(0;2\right)$ và $x\in \left(4;6\right)$. Do đó, hàm số f(x) nghịch biến trên $\left(0;2\right)$ và $\left(4;6\right)$.

b) Vì $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(0;2\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x\in \left(2;4\right)$ thì $x=2$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Vì $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x\in \left(2;4\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(4;6\right)$ thì điểm $x=4$ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Vì $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(4;6\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x\in \left(6;+\mathrm{\infty }\right)$ thì điểm $x=6$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Bài 1.7 trang 14 Toán 12 Tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y=2x^3-9x^2+12x-5$;

b)$y=x^4-4x^2+2$c)$y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$;d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

$y^{\prime }=6x^2-18x+12$, $y^{\prime }=0\iff 6x^2-18x+12=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=2x^3-9x^2+12x-5$ có điểm cực đại là $\left(1;0\right)$.

Hàm số $y=2x^3-9x^2+12x-5$ có điểm cực tiểu là $\left(2;-1\right)$.

b) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-8x,y^{\prime }=0\iff 4x^3-8x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{2}\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=x^4-4x^2+2$ đạt cực đại tại $x=0$ và .

Hàm số $y=x^4-4x^2+2$ đạt cực tiểu tại $x=\pm \sqrt{2}$ và $y_{CT}=-2$.

c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=1-\sqrt{2}\\ x=1+\sqrt{2}\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ đạt cực đại tại $x=1-\sqrt{2}$ và .

Hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ đạt cực tiểu tại $x=1+\sqrt{2}$ và $y_{CT}=2\sqrt{2}$.

d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$

Tập xác định: $D=\left[0;2\right]$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(4x-2x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{-x+1}{\sqrt{4x-2x^2}},y^{\prime }=0\iff x=1\left(tm\right)$

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x=1$, , hàm số không có cực tiểu.

Bài 1.8 trang 14 Toán 12 Tập 1:Cho hàm số$y=f\left(x\right)=\left|x\right|$.

a) Tính các giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ và $\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$. Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x=0$. (Xem Hình 1.4)

Lời giải:

a) $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\left|x\right|-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x}{x}=1$

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\left|x\right|-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-x}{x}=-1$

Vì $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\ne \underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.

b) Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$:

Ta có: $y=f\left(x\right)=\left|x\right|=\{\begin{array}{l}-xkhix\in \left(-\mathrm{\infty };0\right)\\ xkhix\in \left(0;+\mathrm{\infty }\right)\end{array}$

Hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$ liên tục và xác định trên $\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$

Với số $h>0$ ta có: Với $x\in \left(-h;h\right)\subset \left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$ và $x\ne 0$ thì $y=f\left(x\right)=\left|x\right|>0=f\left(0\right)$

Do đó, hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$ có cực tiểu là $x=0$.

Bài 1.9 trang 14 Toán 12 Tập 1: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số$f\left(t\right)=\frac{5000}{1+5e^{-t}},t\ge 0,$ trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?