Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y = 2x - 1/x+ 2; b) y = x^2 + x + 4/x - 3

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$;

b) $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-2\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{2\left(x+2\right)-\left(2x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{2x+4-2x+1}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{5}{\left(x+2\right)}>0\mathrm{\forall }x\ne -2$

Do đó, hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$ đồng biến trên $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ và $\left(-2;+\mathrm{\infty }\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{3\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(x^2+x+4\right)}^{\prime }\left(x-3\right)-\left(x^2+x+4\right){\left(x-3\right)}^{\prime }}{{\left(x-3\right)}^2}=\frac{\left(2x+1\right)\left(x-3\right)-x^2-x-4}{{\left(x-3\right)}^2}=\frac{x^2-6x-7}{{\left(x-3\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff \frac{x^2-6x-7}{{\left(x-3\right)}^2}=0\iff [\begin{array}{l}x=7\\ x=-1\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-1;3\right)$ và $\left(3;7\right)$.

Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(7;+\mathrm{\infty }\right)$.

*Phương pháp giải:

Bước 1.Tìm tập xác định của hàm số y = f(x).

Bước 2.Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x_i(i = 1, 2, …, n) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3.Sắp xếp các điểm x_itheo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4.Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

*Lý thuyết:

* Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên tập K ⊂ ℝ, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Chú ý:Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập K hoặc nghịch biến trên tập K thì hàm số y = f(x) còn được gọi làđơn điệutrên K ⊂ ℝ