Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: a) y = 1/3x^3 - 2x^2 + 3x + 1

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=x^2-4x+3,y^{\prime }=0\iff x^2-4x+3=0\iff [\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$ nghịch biến trên khoảng $\left(1;3\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+4x-5$

Vì$-3x^2+4x-5=-3\left(x^2-2.\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\right)-\frac{11}{3}=-3{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2-\frac{11}{3}<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Do đó, $y^{\prime }<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Vậy hàm số $y=-x^3+2x^2-5x+3$ nghịch biến trên $\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$.