Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y = 1/3x^3 + 3x^2 + 5x + 2

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Luyện tập 3 trang 9 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+5x+2$;

b) $y=\frac{-x^2+5x-7}{x-2}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=x^2+6x+5,y^{\prime }=0\iff x^2+6x+5=0\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x=-5\end{array}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+5x+2$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-5\right)$ và $\left(-1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+5x+2$ nghịch biến trên khoảng $\left(-5;-1\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(-2x+5\right)\left(x-2\right)-\left(-x^2+5x-7\right)}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{-x^2+4x-3}{{\left(x-2\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\frac{-x^2+5x-7}{x-2}$ đồng biến trên khoảng $\left(1;2\right)$ và $\left(2;3\right)$.

Hàm số $y=\frac{-x^2+5x-7}{x-2}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$.