Tìm cực trị của các hàm số sau: a) y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1.7 trang 14 Toán 12 Tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y=2x^3-9x^2+12x-5$;

b)$y=x^4-4x^2+2$c)$y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$;d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

$y^{\prime }=6x^2-18x+12$, $y^{\prime }=0\iff 6x^2-18x+12=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=2x^3-9x^2+12x-5$ có điểm cực đại là $\left(1;0\right)$.

Hàm số $y=2x^3-9x^2+12x-5$ có điểm cực tiểu là $\left(2;-1\right)$.

b) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-8x,y^{\prime }=0\iff 4x^3-8x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{2}\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=x^4-4x^2+2$ đạt cực đại tại $x=0$ và .

Hàm số $y=x^4-4x^2+2$ đạt cực tiểu tại $x=\pm \sqrt{2}$ và $y_{CT}=-2$.

c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=1-\sqrt{2}\\ x=1+\sqrt{2}\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ đạt cực đại tại $x=1-\sqrt{2}$ và .

Hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ đạt cực tiểu tại $x=1+\sqrt{2}$ và $y_{CT}=2\sqrt{2}$.

d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$

Tập xác định: $D=\left[0;2\right]$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(4x-2x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{-x+1}{\sqrt{4x-2x^2}},y^{\prime }=0\iff x=1\left(tm\right)$

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x=1$, , hàm số không có cực tiểu.