Giải thích vì sao nếu f’(x) không đổi dấu qua x0 thì x0 không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Câu hỏi trang 11 Toán 12 Tập 1: Giải thích vì sao nếu f’(x) không đổi dấu qua $x_0$ thì $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?

Lời giải:

Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left(a;x_0\right)$ và $\left(x_0;b\right)$. Nếu f’(x) không đổi dấu qua $x_0$ thì:

TH1: $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(a;x_0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(x_0;b\right)$, ta có bảng biến thiên:

Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left(a;x_0\right)$ và $\left(x_0;b\right)$. Nếu f’(x) không đổi dấu qua $x_0$ thì:

TH1: $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(a;x_0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(x_0;b\right)$, ta có bảng biến thiên:

Do đó, $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số f(x).