Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) y = căn 4 - x^2; b) y = x/x^2 + 1

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1.4 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{4-x^2}$;b) $y=\frac{x}{x^2+1}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\left[-2;2\right]$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(4-x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{4-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}},y^{\prime }=0\iff x=0\left(tm\right)$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\sqrt{4-x^2}$ đồng biến trên khoảng $\left(-2;0\right)$.

Hàm số $y=\sqrt{4-x^2}$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có:$y^{\prime }=\frac{\left(x^2+1\right)-2x.x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-x^2+1}{{\left(x^2+1\right)}^2},y^{\prime }=0\iff \frac{-x^2+1}{{\left(x^2+1\right)}^2}=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$, $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ đồng biến trên khoảng $\left(-1;1\right)$