Giải Toán 12 trang 6 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ 1 trang 6 Toán 12 Tập 1: Quan sát đồ thị của hàm số $y=x^2$ (H.1.2)

a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Lời giải:

Từ đồ thị ta thấy:

+ Xét khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$: $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in \left(0;+\mathrm{\infty }\right),x_1<x_2$ thì $x_1^2<x_2^2$ hay $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Suy ra, hàm số $y=x^2$ đồng biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

+ Xét khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$: $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in \left(-\mathrm{\infty };0\right),x_1<x_2$ thì $x_1^2>x_2^2$hay $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Suy ra, hàm số $y=x^2$ nghịch biến trên $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$.

Luyện tập 1 trang 6 Toán 12 Tập 1: Hình 1.5 là đồ thị của hàm số $y=x^3-3x^2+2$. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Trong khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$ thì đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ đi lên từ trái sang phải nên hàm số $y=x^3-3x^2+2$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Trong khoảng $\left(0;2\right)$ thì đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ đi xuống từ trái sang phải nên hàm số $y=x^3-3x^2+2$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

HĐ 2 trang 6 Toán 12 Tập 1: a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$, $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$. Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng này.

b) Có nhận xét gì về đạo hàm y’ của hàm số y trên khoảng $\left(-1;1\right)$?

Lời giải:

a) + Xét khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ ta có: $y^{\prime }={\left(-x\right)}^{\prime }=-1<0$

Trong khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ ta thấy hàm số y nghịch biến và đạo hàm $y^{\prime }<0$.

+ Xét khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ ta có: $y^{\prime }=x^{\prime }=1>0$

Trong khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ ta thấy hàm số y đồng biến và đạo hàm $y^{\prime }>0$.

b) Trong khoảng $\left(-1;1\right)$ ta có: $y^{\prime }={\left(1\right)}^{\prime }=0$

Trong khoảng $\left(-1;1\right)$ ta thấy hàm số y không đổi và đạo hàm $y^{\prime }=0$.