Giải Toán 12 trang 7 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 7 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số$y=-x^2+2x+3$.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=-2x+2,y^{\prime }>0$ với $x\in \left(-\mathrm{\infty };1\right)$; $y<0$ với $x\in \left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

HĐ 3 trang 7 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-3x^2+2x+1$.

a) Tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ và tìm các điểm x mà $f^{\prime }\left(x\right)=0$.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.

c) Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

a) $f^{\prime }\left(x\right)={\left(x^3-3x^2+2x+1\right)}^{\prime }=3x^2-6x+2$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff 3x^2-6x+2=0\iff [\begin{array}{l}x=\frac{3-\sqrt{3}}{3}\\ x=\frac{3+\sqrt{3}}{3}\end{array}$

Vậy $x=\frac{3-\sqrt{3}}{3},x=\frac{3+\sqrt{3}}{3}$ thì $f^{\prime }\left(x\right)=0$

b) Bảng biến thiên:

c) Hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-3x^2+2x+1$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };\frac{3-\sqrt{3}}{3}\right)$ và $\left(\frac{3+\sqrt{3}}{3};+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-3x^2+2x+1$ nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{3-\sqrt{3}}{3};\frac{3+\sqrt{3}}{3}\right)$.